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令人惊叹的斐波那契螺旋线

2015-10-30 08:47 大数据实验室

咱不看500到50000那么多的质数了,看500到1500就够了,并且把质数涂成蓝色,把合数涂成红色,就得到:

发现了吧,大概11点钟方向和5点钟方向的确各有三列数全是合数。如果你还是看不太清楚,我把500-20000内的质数和这三条全是合数的线画出来:

数一下第一个图,会发现视觉上向外辐射的螺旋线一共有44条,为什么这44条曲线中恰好有6条上没有质数?下面来解决这个问题。

1. 为什么恰好有44条螺旋线


实际上螺旋线上的自然数并不相互挨着,自然数是跳跃着旋转排列的(相差一弧度也就是约57度),挑出500-550之间的自然数,相邻自然数用短线连上,是这个样子分布的:


果两个自然数的夹角之差恰好接近的整数倍,它们在图上就会处在同一个方向,也就是一条螺旋线上,而:


恰好是一个非常接近整数的数,所以每隔44个自然数,两个自然数就会落在同一条螺旋线上,而多出来的0.0028,就是为啥每一条螺旋线会轻微逆时针旋转的原因。

2. 为什么有六条螺旋线上没有质数


我们只讨论大于500的自然数,在螺旋线上找到一个已知点后就可以得到:

左上角的三条全合数螺旋线为:

右下角的三条全合数螺旋线为:

因为536、542、520、514四个数是偶数,所以无论加多少个44结果还是偶数,所以这四条螺旋线全是合数;
因为517和539有因数11,所以无论加上多少个44结果还是能被11整除,所以这两条螺旋线也全是合数。

3. 只有这六条螺旋线上没有质数吗

不是的,只要有一个偶数出现,一条螺旋线上就不会再有质数出现了,因为加多少44还是偶数。这六条螺旋线只是因为三条相邻线上都没有质数(拜517和539这俩11的奇数倍数出现所赐),连在一起视觉上更加显眼而已。如果把所有没有质数的螺旋画出来,应该是这样:


连续44个自然数中,能被11整除的奇数只有两个,相隔22,这就是为啥只有两条奇葩的对称的全合数螺旋线小集团脱颖而出。

4. 当素数表越来越大时会怎样

我们会发现更多更接近倍数的整数,比如:


但下面这个数710则更加接近,并且它是偶数,根据前面的推导,可以看到更多纯合数的悬臂:


1万个自然数跨度上,上面44条螺旋线的悬臂旋转幅度是:


从上面的图片可以验证这一点,每1万个自然跨度下,悬臂旋转半圈多一点。
可以猜测当有很多素数时,将形成710条向外辐射的螺旋线,并且这些螺旋线相当直,每100万个自然数能够使它旋转:

也就是说每一百万个自然数跨度上,这710条悬臂只旋转5度。如果你生成前一亿自然数中的质数图,才能发现悬臂转过一圈。

由于,可见710条悬臂中编号是2、5、71倍数的悬臂都是纯合数悬臂,我们能找到更多3条相邻悬臂都是合数的情况出现。存在5条相邻的合数悬臂,比如编号为212,213,214,215,216的悬臂。


5.验证猜想


从wiki质数页面链接到一个提供质数表的网站,下载了前一百万个质数,现在把区间[1006721, 15485863]之间也就是一百万到一千五百万之间的质数画出来是这样:


数一数,一共有71条粗悬臂,把左边部分拉近点看:


可以看到每一条粗悬臂一般含有四条细悬臂。这是因为10个连续自然数中除去5个2的倍数和两个5的倍数,还剩四个数,只有在这四个数代表的悬臂上才有可能出现质数。十点钟方向上较大的空白是五条相邻的合数悬臂。这些悬臂在跨度1400万的自然数区间内只旋转了不到70度,完美验证了上一节的猜测。


来源:王小龙(知乎)






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