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傅里叶变换凭什么统治了大学的数学课程?

2015-11-14 09:32 大数据实验室

从高中的时候学习导数概念开始,我们就知道有函数 特别神奇,或者说皮实经打耐用。它最耳熟能详的性质就是它不怕求导



变种也不怕,只要把指数的系数写前面上:

随便求导毫无鸭梨,这个函数简直生下来就是用来对付求导的,专注求导五百年


基于这个简单的神奇性质,一个广阔的空间打开了。既然不怕求导,就一定能用来对付和求导密切相关的事情,比如高阶微分方程。还犹豫什么?

让咱们开始今天的傅里叶和拉普拉斯激情大冒险吧!

首先看傅里叶变换




为什么它适合解微分方程呢?不妨让我们看看如果的傅里叶变换是,那么的傅里叶变换是多少?


根据分部积分,把的导数符号丢到上,




神奇的事情发生了,函数处的值都为0,因为在的过程中,几乎不变而随着的增大而上下震荡,所以函数值也快速震荡,所以平均来说可以认为是。也就是说上面的公式边界值都为0,这一项可以丢掉。


(万门大学的刘赫男提出了更严谨的证明:因为


积分存在,所以积分内部的函数在的值必须为零,否则发散。感谢刘赫男的亲情帮助!)


的化简就体现到了神奇函数的性质,可以把指数上的系数拿下来直接拉下来变成 ,神奇函数立功一次!而积分号里面正是 。所以对于傅里叶变换而言, 的傅里叶变换只是的傅里叶变换乘以即可。那么的傅里叶变换呢?当然是再乘一次得到啦。


Oh my Ladygaga!傅里叶变换对付求导真是太方便了,导数本身是复杂的性质,但是在傅里叶变换下,直接变成了乘以系数这么简单。那么我们头疼的关于高阶微分方程,直接就变成了关于的一阶多项式方程。。。求解方程我不会,求解多项式我还能不会吗?


让我们用同样的视角来审视一下拉普拉斯变换


简直是看到了傅里叶变换失散多年亲兄弟啊有木有!!!


注意看积分符号里面的是不是一毛一样!!!我都看不出有任何的区别!!!(是的我眼睛瞎了),因为本质上都是神奇函数,再重复一次他的性质:专注求导五百年。所以横扫微分方程并不非不可能。


来源:童哲(知乎)




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