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如何从数学的角度理解运动?

2015-11-21 09:13 大数据实验室
如何从数学的角度理解运动

著名吹牛大王——希腊哲学家芝诺不仅创作了“阿喀琉斯与乌龟”的故事,还证明了根本不存在运动。两千年来,这个证明着实让人丈二和尚摸不着头脑。

他的命题声称,飞箭(这是当时人们所能想象的最快的东西)不动。证明如下:

设想有一支飞箭,也许芝诺把它称作“一支假装飞行的箭”。我们观察它飞行的每一个瞬间,在这个瞬间它是不动的。因为即使最快的箭在一个特定时间段内一个最短距离。飞箭在一瞬间没有运动,所以任何一个瞬间它都没有运动。因而,飞箭是不动的。

你会发现,尽管好像有一种被无耻戏法耍弄的感觉,但要找出这个辩论的弱点却非常困难。

实际上,这个难题是被伊萨克•牛顿首先解决的。牛顿对这个情景的看法与芝诺大相径庭。他在书中写道:

在此,我认为数学中的大小不是由极其微小的部分形成的,而是由连续运动产生的。直线不能描述为紧挨在一起的点的集合,而是由点的连续运动生成的……这种生成源于自然,并且我们每天都能从自身运动中观察到它。

牛顿的观点是极端的:物体运动状态不仅包括位置,还包括速度,也就是它的运动方向和强度。仅仅拍到很多显示物体瞬时位置的照片是不够的,每个瞬间的运动也应当被看成位置的一部分。

即使是点也在运动。运动的物体在任何时间点都不是静止的,而是发生了瞬间运动。这个观点从哲学上看很费劲,但却是直观明了的。飞箭在每一个瞬间都有一个速度,包含运动方向与强度。对于物理学家牛顿来说,显然“每天都能从身体运动中观察到它”。

我们能够近似判定一个点的运动。首先,要确定飞箭从A点到B点的平均速度。前提是知道飞箭从A到B的飞行距离和所需时间。用距离除以时间就得到速度。为了求得A点的瞬时速度,可以令B不断向A靠近。然后来计算不断缩小距离内的平均速度。这些平均速度的极值就是A点的瞬时速度。

莱布尼兹和牛顿还对这些观点进行了精确的数学表述,得出的结论为:速度是位置曲线的导数。



(来源:《数学问题如数家珍》)




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