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这就是数学的真正基础?

2016-01-08 08:33 大数据实验室

小学时学习了四则运算,初中时学习了方程函数,高中学习了解析几何和数列等等。到大学才发现,四则运算是建立在群论的基础上,函数直接与微积分相关,方程实质上也与空间,线性代数联系。也就是说,小时候学习的是数学中比较“高级”的结论性的内容,易于理解的内容,所以我就想问问,数学真正的“基础”有哪些内容?我先说几个:实数的构造,极限,群论,集合论等。另:【这里的“基础”和“高级”和平常的意思不同,相当于计算机里的“低级语言”“高级语言”】


1 起初,高斯定义集合


2 集合的元素空虚混沌,渊面黑暗;高斯的思维运行在直觉上。


3 高斯说:“要有公理”,就有了9条公理,组成了公理天团,拯救面临危机的数学.


4 高斯看元素是好的,就把一个元素定义为"1"。


5 高斯定义0为“1的前驱",定义2为“1的后继”。有前驱,有后继,这是自然数.

6 高斯说:“集合元素之间要有运算,构成一个群."


7 高斯就规定了结合律,单位元,逆元,群结构就这样成了。


8 高斯定义负数为“自然数的逆”。验证了自然数满足运算性质,验证了结合律,是第二步.

9 高斯说:"整数群满足交换律,可以定义第二种运算.”环就这样成了。


10 高斯称第一种运算为“加”,称第二种为“乘”.高斯看着是好的.


11 高斯说:“整数环要扩展出分式域,让每个非零元素都可逆”有理数就这样成了。


12 于是自然地定义了有理数的加,通分后整数加;并定义了有理数的乘,分子分母分别整数乘;元素之间有大小顺序.高斯看着是好的。


13 有乘法逆,有全序,是第三步.


14 高斯说:“有理数要可以构成柯西列,可以完备化,


15 并要定义等价类,区分极限不同的柯西列.”实数就这样成了。


16 于是高斯定义了两个运算,实数的加,实数的乘,又造减和除,


17 就把这些验证是良定义,放在实数域上.


18 定义数的极限,验证性质.高斯看着是好的.


19 有实数,有极限,是第四步.

20 高斯说:“任何的多项式,也是要按照代数基本定理,具有一个零点,N次的多项式,应该有N个零点.”


21 高斯就对实数域进行了一次代数扩张;又造出虚单位,兼容实数的运算.高斯看着是好的。


22 高斯就赞美这一切,说:“我搞的这个代数系统啊,excellent。”


23 有虚单位,有代数完备,是第五步.

24 高斯说:“一个集合应该有这样的子集族,对集合运算封闭"sigma域就这样成了。


25 于是高斯让每个子集,对应一个非负实数;满足单调性和可数可加.高斯看着是好的。


26 高斯说:“我们要让每个可积的函数,按着勒贝格的办法,使他们对应一个实数,简单的,非负的,直到所有的,定义在一切可测函数上.”


27 高斯就照着实轴上积分的样子,造出了可测函数的积分.


28 高斯就赐福给他们,又对他们说:“有了可测函数积分,就可以定义符号测度,从而定义导数”
29 高斯说:“看哪,我将所有基础概念都定义了出来.


30 至于多重积分,复积分,算子值积分,不定积分,全微分,都留做习题,请读者自行完成.”事就这样成了。


31 高斯看着一切所造的都甚好.有深度,有逼格,是第六步.


(作者:舒自均 来源:知乎)





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