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分形图展现了不可抗拒的数学之美

2016-01-12 08:43 大数据实验室

自然中,许多相关的分形会产生漂亮的令人感兴趣的图形。实际上,一些今天被认为是分形的外形早在许多年之前就已发现。这种数学的某些内容发表在1875年到1925年期间法国数学界亨利·庞加莱、皮埃尔·法图和加斯顿·朱丽亚等人的著作中。但没有人意识到它们作为形象描述的工具以及它们与真实世界有关这两方面的重要意义。


曼德尔布罗特凭着自己的兴趣并无确定目的地画了许多被称为“朱丽亚(Julia)集”的图形。这些集合成为“复平面上有理映射迭代理论”的一部分。早远1918年加斯顿·朱丽亚和费特(P.Fatou)的著名论文就研究过这个理论,并取得了一定的进展,但之后就停滞不前了,一直沉睡到1979年。曼德尔布罗特为什么又追溯到这些论文呢?因为在他20岁时,在他的叔叔(一位杰出的纯数学家和复合分析家)的推荐下,他就仔细研究过这些文章,并对他的一生产生了重要的影响。一个直接的结果是,这些文章使曼德尔布罗特放弃了研究数学的通常的模式。1945年,朱丽亚是曼德尔布罗特在多艺学校念书时的老师,这更使他对今后的研究方向矢志不移。35年后曼德尔布罗特要在迭代理论复兴中居于领先地位,迭代理论的研究使他更接近于数学研究的主流。


德尔布罗特积累了大量有关朱丽亚集的漂亮图形,人们终于从直观上理解了朱丽亚和费特一直在探讨的问题。我们看到几乎所有的朱丽亚集都是非常之美。




但是,曼德尔布罗特的兴奋很快平静了,他为自己确定一个重要的任务:选择一族带的一个复参数的有理映射,研究使映射的动态收敛到稳定的大小不同的极限环的参数区域。


曼德尔布罗特研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。




曼德尔布罗特集合图形的边界处,具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话,你可以无限地放大她的边界。当你放大某个区域,它的结构就在变化,展现出新的结构元素。


下图为由Julia集产生的类似尘埃的结构。在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。




分形学告诉我们,自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如,大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种,每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。


这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”,无论您怎样放大它的局部,它总是曲折而不光滑,即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。因此可以说,曼德尔布罗特集合是向传统几何学的挑战。


在1979年时,他们得到的图形还非常粗糙,但是它给了曼德尔布罗特一个信息,他们的课题值得继续研究。从上图我们可以看出,曼德尔布罗特集图形非常地美丽,但它的生成原理却十分的简单。这也体现了数学的简单与和谐之美。只要进行这样的迭代:Z_(n+1) =Z_n^2 +C ,给定 为一个初始的复数,而对不同的C,迭代序列{Z_n}(n→∞)=0有界的所有C值构成的集合,即MZ0 ={C|迭代序列{Z_n}(n→∞)=0有界},则称MZ0在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。


关于朱丽亚(Julia)集


加斯顿·朱丽亚(Graston Julia,1893--1978),法国数学家,1919年研究迭代保角变换Z_(N+1)=Z_N^2+c,能产生令人眼花缭乱的图案,由于当时没有计算机,还不能象今天把如此美妙绝伦的图案奉献于世界。


朱丽亚(Julia)集合是在复平面上,水平的轴线代表实数,垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合(有无限多个点)都决定一个常数C,它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点,其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算:Z_(n+1)=Z_n^2+c。即用原来的Z自乘,再加上C后的结果作为新的Z。不停地重复这个运算过程。


最后将得到的Z值有三种可能性:


1、Z值没有界限增加(趋向无穷)


2、Z值衰减(趋向于零)


3、Z值是变化的,即非1或非2 趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子,很多点在定常吸引子处结束,被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是“Julia集合”部分,也叫混沌吸引子。


考察迭代计算结果,因为Julia集是有固定的c,根据迭代结果给点位置着色,绘出形态各异的图形图形。


为了更好的编程绘制Julia集并实现其高阶的迭代,先设如下:


1、取方程为Zn+1 =Znk+C进行迭代。


2、Z的模小于2,迭代次数不超过50。


3、对于Z在平面上表示时,设xx为x的初始迭代坐标,yy为y的初始迭代坐标坐标表示。所取的变量范围为(cx,cy),分别为x与y的范围,迭代次数为n。



曼德尔布罗特擅长于形象的、空间的思维,他具有把复杂问题化为简单的、生动的、甚至彩色的图象的特殊本领。他是一个兼有数学,特别是几何学与计算机灵感与技能,还有艺术细胞的多方面才能的不可多得的人才。


曼德尔布罗特用分形图呈现给人们的数学之美是无以伦比,不可抗拒的。人们一看到它,就被它之后的数学的简洁美与奇异美征服了。


(来源:imath







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