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神奇的数学动图,你见过几张?

2016-01-30 07:56 大数据实验室

无限的黄金(率)

图片作者:LucasVB

这个φ不是别的,就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618,把前面的1去掉就是。

常用的黄金分割表达方式是,但是有一个有趣的连分数表达式,就是上面那张停不下来的动图。

当然实际中我们没法无穷地这么除下去……用这个连分数迭代来近似黄金比例的话,误差程度是:

图片来源:wikipedia

还不错嘛。

为什么这个连分数无限迭代下去可以用来算黄金?注意它的格式:x = 1 + 1/x

而黄金率的定义你还记得吗?在下图中,如果 (a + b)/a = a/b ,那么这个比值就是黄金律。


图片来源:wikipedia

如果我们令 a/b = φ,那么上式就立刻化简成了

如果你学过相关的迭代法求近似解理论,现在应该已经在颔首微笑了。如果没有,那么想着“这两个式子形式完全一样肯定有什么关联”就好……

极坐标的魔法

如何把直角坐标变成极坐标?看我的:

图片作者:依然是LucasVB(1ucasvb)……

这是什么黑魔法……

别急,听我解释,事情就是你看到的那样:

首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。之所以要有这一步,是因为极坐标里我们很武断地把0度定义在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上,那就不需要这一步了。

然后,我们把Y轴折弯过来,直到它缩成一个点。成功!

思路是这样的:直线在几何上可以认为是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆,永远不向自身弯折。但如果我们逐渐降低曲率半径,从无限一直降到零,就等于是把Y轴变成一个逐渐缩小的圆、最后变成一个点。而原来直角坐标的“Y轴”所承载的信息,在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

注意,这个转换体现的是极坐标和直角坐标之间不同的对应方式,是把一种对应变成了另一种对应,而不是说把同一个曲线从直角坐标表达式换成极坐标表达式。前后两个是不同的曲线。

你真的以为你懂三角函数吗?

请听题:三角函数既然是函数,那它的自变量和因变量都是什么?

图片作者:LucasVB(1ucasvb)

从这张图里可以很明显看到,所谓正弦函数,其实就是圆上任意一点的y坐标(红)和弧长(蓝)之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。

而弧长又和弧度是完全对应的。为什么高中老师不肯用经典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”?就是因为这个对应。1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角,π弧度就是正好半个圆——相应的,之所以 sinπ=0,正是因为当蓝线走了一个π(一个半圆)的时候,正好也走回到了 y = 0 的地方。

图片作者:又是LucasVB(1ucasvb)

那余弦函数呢?留给读者作为练习——

图片作者:还是LucasVB(1ucasvb)

——别打了,我说还不行吗……余弦函数就是圆上任意一点的x坐标弧长之间的关联,只不过在画函数的时候,把圆上点的x坐标打了个弯,对应成了函数曲线上的y坐标,就像这张图里的蓝线那样。

为了体现余弦函数的这个对应,我们也可以直接把函数本身竖过来,就成了这样:

图片来源未知,但画得这么丑,肯定不是LucasVB

当然,这种对应也可以用在其它几何图形上,只不过就不如圆那么美丽了,比如下面这个丑陋的心形。

图片作者:当然是LucasVB(1ucasvb)

要不为什么说圆是最完美的身材!(并不是)


正十七边形尺规作图

图片作者:Aldoaldoz

正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出,而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。(猜猜这个卡莱尔是谁?托马斯·卡莱尔。对,就是那个《法国大革命史》和《论英雄、英雄崇拜与历史上的英雄业绩》的作者。)

那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他已经知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

不过,正三边形(好吧,正三角形)和正五边形人们早知道了,而正257边形什么的做起来又太麻烦,所以最后正十七边形成了最出名的。

那么正十七边形的对应三角函数应该怎么表达?高斯的《算术研究》给出了结果:

  



(作者:Ent           来源:果壳)





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