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那些神秘的数学常数

2016-02-11 08:00 Immanuel


    我一直觉得,数学中的各种常数是最令人敬畏的东西,它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的,偏偏就是这个样呢。除了那些众所周知的基本常数之外,还有很多非主流的数学常数,它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。今天,就让我们一起来看一看,数学当中到底有哪些神秘的无理常数。

 
2 ≈ 1.4142135623730950488

    古希腊的大哲学家 Pythagoras 很早就注意到了数学与大千世界的联系,对数学科学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。 Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信,在这个世界中“万物皆数”,所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。
    第一个无理数 √2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者,他叫做 Hippasus 。据说,一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题:边长为 1 的正方形,对角线长度能用整数之比来表示吗? Pythagoras 自己做了一些思考,证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条,因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。
    利用勾股定理可知,这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解,我们通常就记作 √2 。 √2 可能是最具代表性的无理数了,我们之前曾经介绍过很多 √2 的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设,直接导致了第一次数学危机,整座数学大厦险些轰然倒塌。
    无理数虽说无理,在生产生活中的用途却是相当广泛。例如,量一量你手边的书本杂志的长与宽,你会发现它们的比值就约为 1.414 。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质:把两条宽边对折到一起,得到一个新的长方形,则新长方形的长宽之比和原来一样。因此,如果原来的长宽比为 x : 1 ,新的长宽比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。

 
圆周率 π ≈ 3.1415926535897932385

    不管圆有多大,它的周长与直径的比值总是一个固定的数。我们就把这个数叫做圆周率,用希腊字母 π 来表示。人们很早就认识到了圆周率的存在,对圆周率的研究甚至可以追溯到公元以前;从那以后,人类对圆周率的探索就从未停止过。几千年过去了,人类对圆周率的了解越来越多,但却一直被圆周率是否有理的问题所困扰。直到 1761 年,德国数学家 Lambert 才证明了 π 是一个无理数。
    π 是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一,它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如,任意取出两个正整数,则它们互质(最大公约数为 1 )的概率为 6 / π^2 。

 
自然底数 e ≈ 2.7182818284590452354

    在 17 世纪末,瑞士数学家 Bernoulli 注意到了一个有趣的现象:当 x 越大时, (1 + 1/x)^x 将会越接近某个固定的数。例如, (1 + 1/100)^100 ≈ 2.70481 , (1 + 1/1000)^1000 ≈ 2.71692 ,而 (1 + 1/10000)^10000 则约为 2.71815 。 18 世纪的大数学家 Euler 仔细研究了这个问题,并第一次用字母 e 来表示当 x 无穷大时 (1 + 1/x)^x 的值。他不但求出了 e ≈ 2.718,还证明了 e 是一个无理数。
    e 的用途也十分广泛,很多公式里都有 e 的身影。比方说,如果把前 n 个正整数的乘积记作 n! ,则有 Stirling 近似公式 n! ≈ √2 π n (n / e)^n 。在微积分中,无理数 e 更是大显神通,这使得它也成为了高等数学中最重要的无理数之一。

 
黄金分割 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887498948482

    把一根线段分为两段,分割点在什么位置时最为美观?分在中点处,似乎太对称了不好看;分在三等分点处,似乎又显得有些偏了。人们公认,最完美的分割点应该满足这样一种性质:较长段与较短段的长度比,正好等于整条线段与较长段的长度比。这个比值就叫做黄金分割,用希腊字母 φ 来表示。若令线段的较短段的长度为 1 ,则 φ 就满足方程 φ = (1 + φ) / φ ,可解出 φ = (1 + √5)/2 。
    在美学中,黄金分割有着不可估量的意义。在那些最伟大的美术作品中,每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美。在人体中,黄金分割也无处不在——肘关节就是整只手臂的黄金分割点,膝关节就是整条腿的黄金分割点,而肚脐则位于整个人的黄金分割点处。
    在数学中,黄金分割 φ 也展示出了它的无穷魅力。例如,在正五角星中,同一条线上三个点 A 、 B 、 C 就满足 AB : BC = φ 。再比如,在 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 中,相邻两数之比将会越来越接近于 φ 。

 

 
Khinchin 常数 K ≈ 2.6854520010653064453

    每一个实数都能写成 a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + …)) 的形式,其中 a0, a1, a2, … 都是整数。我们就把 [a0; a1, a2, a3, …] 叫做该数的连分数展开。和小数展开比起来,连分数展开具有更加优雅漂亮的性质,这使得连分数成为了数学研究中的必修课。
    在 1964 年出版的一本连分数数学课本中,数学家 Khinchin 证明了这样一个惊人的结论:除了有理数、二次整系数方程的根等部分特殊情况以外,几乎所有实数的连分数展开序列的几何平均数都收敛到一个相同的数,它约为 2.685452 。例如,圆周率 π 的连分数展开序列中,前 20 个数的几何平均数约为 2.62819 ,前 100 个数的几何平均数则为 2.69405 ,而前 1 000 000 个数的几何平均数则为 2.68447 。
    目前,人们对这个神秘常数的了解并不太多。虽然 Khinchin 常数很可能是无理数,但这一点至今仍未被证明。而 Khinchin 的精确值也并不容易求出。 1997 年, David Bailey 等人对一个收敛极快的数列进行了优化,但也只求出了 Khinchin 小数点后 7350 位。

 
Conway 常数 λ ≈ 1.3035772690342963913

    你能找出下面这个数列的规律吗?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

    这个数列的规律简单而又有趣。数列中的第一个数是 1 。从第二个数开始,每个数都是对前一个数的描述:第二个数 11 就表示它的前一个数是“ 1 个 1 ”,第三个数 21 就表示它的前一个数是“ 2 个 1 ”,第四个数 1211 就表示它的前一个数是“ 1 个 2 , 1 个 1 ”……这个有趣的数列就叫做“外观数列”。
    外观数列有很多有趣的性质。例如,数列中的数虽然会越来越长,但数字 4 永远不会出现。 1987 年,英国数学家 John Conway 发现,在这个数列中,相邻两数的长度之比越来越接近一个固定的数。最终,数列的长度增长率将稳定在某个约为 1.303577 的常数上。 John Conway 把这个常数命名为 Conway 常数,并用希腊字母 λ 表示。 John Conway 证明了 λ 是一个无理数,它是某个 71 次方程的唯一实数解。

 
Champernowne 常数 C10 ≈ 0.1234567891011121314

    把全体正整数从小到大依次写成一排,并在最前面加上一个小数点,便得到了一个无限小数 0.1234567891011121314… 。这个数是由英国统计学家 Champernowne 于 1933 年构造出来的,他把它命名为 Champernowne 常数,用符号 C10 表示。与其它的数学常数相比,Champernowne 常数有一个很大的区别:这个数仅仅是为了论证一些数学问题而人为定义出来的,它并未描述任何一个数学对象。
    Champernowne 常数有很多难能可贵的性质。首先,容易看出它是一个无限不循环小数,因此它也就是一个无理数。其次,它还是一个“超越数”,意即它不是任何一个整系数多项式方程的解。它还是一个“正规数”,意即每一种数字或者数字组合出现的机会都是均等的。在众多数学领域中, Champernowne 常数都表现出了其非凡的意义。


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