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中国数学天才的华美四重奏: 统一数论与几何

2016-04-30 08:55 凯文哈雷特

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本文由知社舒布穷原创编译,转载请联系授权




四位年轻的中国数学家,在喧嚣的时代保持着对数学之美的敬畏与追求,联手奏响数论与几何大一统的华美乐章。。。

原作 Kevin Hartnett

编译 舒布穷


大约十年前,2004年的秋天,在纽约,张伟到哥伦比亚大学读数学博士,早来一年的袁新意带他去办社会安全号。这是他们为数不多的一次合作失败经历——张的材料不全,两人白跑了一趟。


如今,张伟已经是哥伦比亚数学系的正教授,而袁则是加州大学伯克利分校的助理教授。他们和斯坦福的恽之玮以及加州理工的朱歆文,刚刚完成了数学四重奏的华美乐章,将数论与几何统一在一起,实现了一个历史性突破,引起了数学界的极大兴奋与关注。而他们,都是北大数学系的同学。


从一所大学的同一个年级,涌现出一批精英数学家,是非同寻常的一件事,但也并非史无前例。最近的一个例子是Bhargava,Kedlaya和Ng,他们都是哈佛的同学,并一直保持友谊。去年,Bhargava荣获Fields奖章的时候,Kedlaya和Ng都飞到首尔去祝贺。和他们不同的是,中国的这四位数学家,在各自成名之后仍然保持着密切的合作,并取得了巨大的成功。



袁新意


“他们不仅优异,而且钻研几乎一样的领域,” 普林斯顿的张寿武说,“他们一起学习,而且互相影响、合作,保持至今。” 他与这四人都相熟,此前在哥伦比亚教书,并且在将袁新意和张伟招到哥伦比亚这件事上发挥了重要影响。


恽之玮和朱歆文研究代数几何,而袁和张则专注于数论。这种结合,给了他们独特的视角,用以攻克也许是数学领域中最大的项目——Langlands 工程。这一工程由Robert Langlands在上世纪六十年代提出,他试图建立数论与几何之间的内在关联,用一个领域的工具和方法,研习另一个领域的问题。“这是数学家的大一统理论”,伯克利数学家Edward Frenkel说。


然而,一方面,任何单个的数学家,都难以透彻了解数论和几何这两个领域。另一个方面,不同领域的数学家,相互交流往往会有困难。好的合作,不仅需要深刻理解不同领域的数学家,也需要他们之间有足够的共同点,能够顺畅交流与沟通。而这,正是这四位年轻数学家的优势。他们不仅各具天赋,而且背景一致,相知多年。这使得他们能够互相学习、促进、挑战、合作,完成个人无法完成的工作。而最近的成果,就是张和袁即将发表的论文,被称之为数论领域30年来最振奋人心的突破。


青葱岁月


这四个人成长在中国不同的地区,是数学将他们联系在一起。朱来自西南的成都,恽则是常州人,最初对书法更有兴趣。但三年级的时候,他的数学老师意识到恽的潜力,向他解释0.999…无限重复下去,就是1。这让恽困惑许久,从此迷上数学。袁生长在武汉边上贫困的乡村,条件艰苦,很难想象能培养出数学天才。“一二年级的时候,数学老师就非常喜欢我,”袁说,“他们经常惊讶于我的能力,常常在考试中得满分。”后来,袁进入了声誉卓越的黄冈中学。


朱歆文


和世界许多其他国家一样,在中国,有这样的机制,能够让数学天才最终聚集在一起。张的家乡距离成都300英里,在十年级的夏令营第一次遇见朱。而恽和袁两人都是中国数学奥林匹克国家队的队员。2000年8月,四人都进入了北大数学系。他们的同学都长于数学,但大多都追求实用的职业生涯,如金融和计算机。到了三年级的时候,班级按个人兴趣分开,这四个人都选择了纯数学。


四个人的友谊与典型的大学同学无异,一起看电影、爬山、踢球。袁最具运动天赋,常常赢得他们之间的体育比赛。这一时期,他们也常常一起讨论数学问题。当他们逐渐接触更高级的数学,他们意识到,他们都被同样的数学研究所吸引。“大四的时候,我很清楚地发现,我们四个人数学品味相投,都欣赏基于结构的数学。”袁说,“我们都对大图像感兴趣,试图找到有趣的例子,展示普适的原理,而不只是计算。”


袁是四人之中最早留学的,在2003年就来到哥伦比亚,师从张寿武。一个重要原因是,他觉得自己的数学潜力在中国很难发挥。“我觉得北大的老师不足够好,不是最顶尖的。”袁说,“我恨不得早点来美国,见识这些数学大家。” 他在哥伦比亚的经历显然远超预期——不但和最优秀的数学家共同参加学术会议和讲座,而且能与这些数学家近距离接触,并深深感受到了数学领域的巨大潜力。


张伟


“在中国做一个数学家并不那么开心,感觉人们难以去享受数学。他们给人的印象是数学很难,不适合作为一个职业。” 袁说,“哥伦比亚则完全不同。我在这里看到,数学充满了幸福、激励、和乐观。这在中国是没有的。” 一年之后,袁的朋友们也都来到美国,朱去了伯克利,恽去了普林斯顿,张伟则受张寿武的吸引,来到哥伦比亚。张寿武同时研究数论和算术代数几何,张伟深受他无需技术细节即可展示概念本质的能力。


张伟最终选择现代数论最有意思的中心问题之一——L-函数——作为博士论文题目。他对推广适用于一些L-函数的Gross-Zagier公式特别感兴趣。这一问题与张寿武自己的研究密切相关,但并不为之所局限。能够自由追寻自己感兴趣的研究题目是吸引张伟到美国的重要原因——“在中国,你100%地听从导师意见,做他们研究所剩下的问题。” 张寿武说,“在美国,你可以听取导师建议,并做相应调整。”


在张探索L-函数的同时,袁正在研究数论,而恽和朱则钻研代数几何。研究生期间以及毕业后,四人都保持着密切联系,路径经常相交于世界的数学中心——在剑桥,恽在MIT做博后,而朱则在哈佛;在普林斯顿,袁和恽在08-09也有过一年的交集。他们常常在一起讨论,袁向恽解释数论的精妙之处。他们都说普通话,没有语言障碍,袁很明了恽知道什么,不知道什么;恽则可以随意提问——即便是非常简单的问题——而不必担心自己显得幼稚。“因为他向我解释了许多东西,” 恽说,“让我发现数论不像以前感觉的那么难”。


恽之玮


这些讨论,连同2010年Fields奖得主Chau的工作,让恽意识到,代数几何里的很多技巧,可以用于数论研究,而这正是Langlands工程的目标。现在,他们只需要找一个相关的问题。


突破


2014年12月,张从纽约飞到伯克利,参加哥伦比亚数学家Michael Harris的60岁祝寿会,并与恽和袁碰面。更重要的是,他有一个想法,要与朋友们分享。这个想法源于2011年他与恽的一次交谈。恽告诉他张之前关于Langlands工程的算术基本引理的工作,其中一些点子可以与代数几何的技巧相结合。但恽并不肯定这是否可行。“我有一些几何的想法,可能是对的,”恽说,“但我不能精确表述,因为我缺乏数论的眼光。我问张伟,你觉得这是对的么?他也不肯定。”


几年过去了,2014年,张意识到恽的直觉是对的,并开始着手证明所需的准备工作。这一问题涉及L-函数,他的博士论文课题。虽然L-函数最初是纯数论问题,不过也可以有几何上的诠释,能够用代数几何的方法予以研究。L-函数可做Taylor级数展开,在1986年Gross和Zagier已经成功计算了展开级数的第一项。恽猜想Taylor展开的每一项,都有几何上的解释,而张则精确定义了这一几何解释。前人得到了Taylor展开第一项和第二项的精确公式,而新的工作则可以得到每一项的几何表述。


张在袁的家里向恽和袁解释了他的想法。 “他具有这种全局的视野,把我头脑里面模糊的概念如此精确地描述出来。” 恽说,“这让我震惊——一切如此完美,必然是对的。”


那晚之后,张和恽花了9个月时间去证明他们的想法。到今年9月,论文稿基本成形,他们也开始在报告中提及这一工作。11月底的时候,论文已经完稿。张寿武估计,如果仅凭张伟一个人去做这项工作,进度至少延后一年。


这个工作虽然还需经受同行评议的检验,但已经在数学圈引起波澜。它带来了诸多的可能性,其中之一就是著名的Birch和Swinnerton-Dyer猜想——即千禧年数学难题之一,首先解决的人可以得到100万美元的奖金。


但是张和恽的工作影响超乎了数学本身。他们在十几岁的时候就相识,和朱以及袁在两个大陆一起成长,逐渐成为成熟的数学家。现在这份友谊所隐含的价值正把他们推向数学世界的边界。


“他们四人风格各异,方法不同。”张寿武说,“当结合起来攻克难题时,这简直妙极了。。。”


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