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直觉的化身&印度之子——拉马努金

2016-05-10 08:40 大数据实验室
斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度历史上最著名的数学家之一。
他沉迷数论,尤爱牵涉π、e等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉导出公式,不喜作证明。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。


哈代
1913年初的一天,英国数学大师哈代收到了一封奇特的信。信是这样开头的:
  “谨自我介绍如下:我是马德拉斯港务信托处的一个职员……我未能按常规念完大学的正规课程,但我在开辟自己的路……本地的数学家说我的结果是‘惊人的’……如果您认为这些定理是有价值的话,请您发表这些结果……”

  落款处,是一个素昧平生的印度人的名字。接下去的几张纸,密密麻麻地写满了公式。

  通常这类信件的命运只能是废纸篓——那是每个数学家常干的事。但是从8000公里外的南印度寄来的这封信,总让哈代觉得有点蹊跷。他没有把信扔掉,跑到户外活动去了,心头却牵挂着什么。晚上,哈代特地把同事李特尔伍德请来,一道仔细研究一下。
南印度可是个贫穷落后的地方,那儿会出什么人才呢?难道竟然是个剽窃者,不太像,因为有些夸张的公式即便是博学的哈代也感到陌生;是一个妄想者在瞎编乱造?更不可能,因为他认为“有本事造出这类公式的骗子比起数学天才来更为罕见”。于是,他准备将这位数学人才请来剑桥。
没错,他就是拉马努金
拉马努金出生于印度的一个贫穷的信奉婆罗门教的家庭,他是长子,还有两个弟弟。他的父亲是一家布店的小职员,收入微薄。全家老小共7口人,就靠他每月20卢比的薪水生活。拉马努金5岁开始上学,读了两年小学后,便升入贡伯戈讷姆的中学念书。

有一天一个老师讲:“三十个果子给三十个人平分,每一个人得到一个。同样的十四个果子给十四个人平分,每一个人得一个果子。”从这里老师下了结论:任何数给自己除得到是一。拉马努金觉得不对,马上站起来问:“没有苹果也没有人分,是否每一个人也得到一个?”这些奇妙的数字性质引起了他的注意,也差不多在这个时候,他对等差,等比级数的性质自己做了研究。
 
在十三岁时,高班的同学借给他一本Loney 的《三角学》一书,他很快把整本书的习题解完。第二年他得到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式,独立推导了欧拉公式,但当他得知欧拉已经做出,他心中有点失望,于是把自己结果的草稿,偷偷地放到里屋的屋梁上。
 
他十五岁时,朋友借给了他英国人卡尔写的《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》一书。该书收录了在代数、微积分、三角学和解析几何的5000多个方程,该书中但没有给出详细的证明。这正好符合拉马努金的胃口,16岁的他把每一个方程式当成一个研究题,尝试对其进行独特的证明而且还对其中一些进行推广。这花去了他大约5年的时间,留下了几百页的数学笔记。他证明了其中的一些定理,而以后他研究的基础全是这书给出的。
 
在1907年到1910年之间,他住在外面,找不到任何工作,有时替朋友补习以换取一些吃的东西。在这段期间,他自己研究幻方、连分数、超几何级数、椭圆积分及一些数论问题,他把自己得到的结果写在两本笔记本里,生活的不安定不能使到他对数学的爱好减少,一个善良的邻居老太太,看他生活困难,几次在中餐时邀他在家里吃些东西。
 
1909年,拉马努金结婚,妻子当时才9岁。他成家以后,必须出外谋生。干了几个月的代理公务员,他被介绍给拉奥。拉奥是内洛尔的征收员,对数学很有兴趣,也是印度数学学会的创建人之一。拉马努金翻开揉破了的笔记本,向他解说自己的数学发现。拉奥十分怜惜这个年轻人的才能,并认为让他干办事员的工作不能解除他的麻烦。他要拉马努金回到马德拉斯去,并愿意按时给他一些钱,维持他一段时期的生活,同时向有关方面为拉马努金争取研究津贴,以使他能安心从事研究。
 
拉马努金只好接受这些钱,又继续他的研究工作。每天傍晚时分才在马德拉斯的海边散步和朋友聊天作为休息。有一天一个老朋友遇到他,就对他说:“人们称赞你有数学的天才!”拉马努金听了笑道:“天才?你看看我的臂肘吧!”他的臂肘的皮肤显得又黑又厚。他解释他日夜在石板上计算,用破布来擦掉石板上的字太花时间了,他每几分钟就用肘直接擦石板的字。朋友问他既然要作这么多计算为什么不用纸来写。拉马努金说他连吃饭都成问题,那里有钱去买纸来算题呢!
 
原来,研究津贴没能申请到手,拉马努金又不愿意成为别人经济上的包袱,已有一个月没到拉奥那里去拿钱了。
 
很幸运拉马努金获得了奖学金,在1913年5月开始,他每个月获得七十五卢比。不久他的朋友协助他用英文写了一封信给英国剑桥大学的著名数学家哈代教授,在这信里列下了他以前研究得到的一百二十个定理和公式。
一段数学史上的佳话也就此开始了。
哈代千方百计终于请来了拉马努金,“直觉的化身-拉马努金,与严格性的使徒-哈代迎头相碰”,两人开始5年的合作研究。因为在数学上的卓越成就,拉马努金31岁就当选为英国皇家学会会员以及剑桥大学三一学院的研究员,走到了他的荣誉的最高峰。但作为虔诚的婆罗门教徒,拉马努金奉行严格的素食主义,长期的营养不良和工作劳累破坏了他的健康,1917年开始患病。他于1919年回到印度,1920年病逝,当时不足33岁。拉马努金身后为人们留下的数学笔记,包含了大量没有证明的公式和定理,涉及了堆垒数论、椭圆函数论、超何级数、模函数、发散级数等众多领域。拉马努金工作的重要性也随着人们对这些公式和定理的研究日益显现出来,并持续地影响着后来的数学家。至今,一些公式和定理仍然没有得到证明。
充满想象力的公式
拉马努金的数学贡献为现代数学家从事数学研究提供了很好的史料,对现代数学的发展也产生了难以估量的影响。他在堆垒数论特别是整数分拆方面做出了重要贡献,在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。他有着很强的数感,虽未受过严格数学训练,却能独立发现了近3900个数学公式和命题。他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示,早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。如比利时数学家德利涅于1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想,并因此获得了1978年的菲尔兹奖。

除了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外,拉马努金的理论还得到了广泛的应用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域起着相当重要的作用,甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发,而他在黎曼ζ函数方面的研究成果,现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩,还被用于测温学及冶金高炉的优化。他生命中的最后一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动;最近有专家认为,这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘,而令人吃惊的是,当拉马努金首次提出这种函数的时候,人们还不知道黑洞是什么。

拉马努金的亦师亦友哈代曾感慨道:“我们学习数学,拉马努金则发现并创造了数学。”他更喜欢公开声称的是,自己在数学上最大的成就是“发现了拉马努金”。他在自己设计的一种关于天生数学才能的非正式的评分表中,给自己评了25分,给另一个杰出的数学家李特尔伍德评了30分,给他同时代最伟大的数学家希尔伯特评了80分,而给拉马努金评了100分。他甚至把拉马努金的天才比作至少与数学巨人欧拉和雅可比相当。
有一天,哈代乘了一辆出租汽车去看他,这车牌号码是1729。哈代对拉马努金讲出了这个数字,看来没有什么意义。可是拉马努金想一下马上回答:“这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的和。”

哈代发出感叹:“每个数都是拉马努金的朋友。”
若想了解拉马努金的更多事迹,那小编就安利一发,他的传记——《知无涯者》。



(来源:数院学生会





陆晨 博士


名师主讲金融建模课程——以MATLAB为工具


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