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44年前的一个数学猜想终被破解

2018-01-13 08:30 大数据实验室

1973年,匈牙利数学家 László Fejes Tóth在《Exploring a planet》一文中提出了区域猜想(Zone Conjecture)[1]。该猜想描述了如果一个单位球面被几个区域完全覆盖,它们的宽度(ω)总和至少为π。44年过去了,以色列理工学院(Technion)的数学家 Zilin Jiang 和莫斯科物理技术学院(MIPT)的 Alexandr Polyanskii 终于证明了Fejes Tóth的猜想,其结果发表于GAFA数学杂志 [2]。他们的证明对于离散几何非常重要。

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○ László Fejes Tóth 猜想。半径为1的单位球体被等宽的区域覆盖。所有区域的宽度总和的最小值是π。每个区域用不同颜色标记。| 图片来源:MIPT


离散几何学(Discrete Geometry)研究的是点、线、圆、多边形和其他几何对象的的组合性质。例如它会思考如下问题:在一个球的周围,最多有多少个相同尺寸的球能被摆放在它周围?或者,在一个平面上,如何以最密集的方式排列相同大小的圆?又或者在一个收纳空间中,如何放置最多数量的球?这类问题都需通过离散几何来解答。


事实上,此类问题的解决方案具有很大的实际应用价值。比如密集填充问题有助于优化代码并纠正数据传输中的错误。又如著名的四色定理,它描述的是用四种颜色就足以绘制球面上的这样一个地图,使得图中任何相邻的两个区域都具有不同的颜色。它促使数学家引进了图论(Graph Theory)的重要概念,这对于许多近期在化学、生物和计算机科学以及逻辑系统上的发展都至关重要。


○ 四色定理的一个例子。| 图片来源:ACM.ORG


László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中的一些其他问题也密切相关,这些问题已在20世纪就被解决,涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题(Plank Problem),涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带(或木板)的宽度的和至少等于圆的直径。也就是说,没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用来覆盖圆盘。接着,Thøger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说,他证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度,即单个用于覆盖凸体的条带的最小宽度。


○ Tarski证明了,一个半径为1的单位圆不能被宽度和小于2(即圆的直径)的条带完全覆盖。图中每个条带都有自己的长度和颜色。| 图片来源:MIPT

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Zilin Jiang 和Alexandr Polyanskii 处理的问题有些不同,它涉及到的是关于用具有特殊构造的区域来覆盖一个单位球体。具体而言,每个区域都是球体与一个特定的三维板条的交叉,其中板条是包含在相对于球体的中心对称的两个平行平面之间的空间区域。或者可以不用木板,而在测地线的度量空间里定义区域:一个在单位球表面的宽度为ω的区域,是距离大圆(球面上半径等于球体半径的圆弧)不超过±ω/2的点的集合,测量点与点间距离的是连接它们的最短弧。数学家必须找到能覆盖单位球体上这些区域的最小宽度的和。因此,问题不同于之前解决的宽度测量的问题:它被定义为弧的长度,而不是平行线或面之间的欧几里德距离。


○ 在球体上一个宽度为ω的区域(黄)。| 图片来源:MIPT


Jiang 和 Polyanskii 所作出的证明是受到了 Bang 的启发,Bang 通过形成一组有限点集解决了用条带覆盖凸体表面的问题,其中一个假设没有被任何条带覆盖。从某种意义上来说,无论是 Bang 还是 Jiang 和 Polyanskii 都是通过矛盾来证明的。在 FejesTóth 猜想的情况下,数学家假设完全覆盖球体的区域的合并宽度小于π,并试图达到矛盾点——即找到一个位于球体上的点,但又不在任何这些区域里。


○ 完全覆盖球体的区域。五个区域中的每个区域都有其自己的宽度和颜色。| 图片来源:MIPT


Jiang 和 Polyanskii 成功展示了在三维空间中形成一组特别的点集,使得至少一个点不在木板覆盖的构成区域内是可能的。如果这整个集合都位于球体内部,那么在球体上描绘另一个没有被木板覆盖、也就是没被区域覆盖的点是相对容易的事。如果集合中的任何点碰巧位于球体之外,则可以用一个较大的区域代替几个较小的区域,其宽度和与较大区域的宽度相等。因此,我们可以做到在不影响宽度和的前提下,减少初始问题中的区域数量。最终,球体上的某个点会被确定为不在这些区域内。这与区域的总宽度小于π的假设背道而驰,因此证明了 FejesTóth 的猜想。


这个问题在n维空间中得到了解决,但 Jiang 和 Polyanskii 表示,这与三维空间的情况并没有什么不同。


Polyanskii 说:“FejesTóth 的问题已经吸引了离散几何学领域的数学家们40多年的注意力。最终,这个问题得到了一个优美简洁的解决方案,是我们的幸运。Fejes Tóth 的问题促使我们去思考另一个关于球体覆盖的更基本的猜想,在这个猜想中,覆盖球面的条带无需中央对称。”


译:佐佑

来源:原理

编辑:Gemini

原文链接:https://mipt.ru/english/news/mathematicians_crack_44_year_old_problem


参考文献:

[1] L. Fejes Tóth. Research Problems: Exploring a Planet. Amer. Math. Monthly, 80(9):1043– 1044, 1973.

[2] https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6

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