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业余数学家如何解决百年数学难题?

2019-01-12 06:58 大数据实验室

如果离开了大学,还能继续做一个科学家或数学家吗?即使早在1905年,在专利局工作的爱因斯坦也会遭遇文献获取的困难,他不得不在对玻尔兹曼的工作不那么清楚的情况下,重新开拓自己的道路。


而到了今天,专业分工更为精细,每一个细分领域都有着浩如烟海的文献,专业研究者尚且会淹没其中,非专业人员即使对一些问题感兴趣,也很难弄清楚研究的前沿在哪里,更不要说找到一条路径,解决自己感兴趣的问题了。(巨人的肩膀真高啊……)


然而,有这么一位“非职业”数学家,他挑战了一个能让最精密严格的数学家也为之疯狂的问题。这位“非职业”的数学家,名叫Philip Gibbs。年轻的时候,Gibbs想过要成为一名科学家,所以就去剑桥大学数学系读了本科,然后又跑到格拉斯哥大学获得了理论物理学的博士学位。但是这位少侠很快就对学术研究失去了热情,转而成为了一名软件工程师。直到2006年退休之前,他都在忙于为船舶设计、空中交通管制和金融等领域设计软件系统。


 Philip Gibbs。


这时,Gibbs仍然对学术问题很感兴趣,但是一个人作为独立科学家,很难跟上科学界所发生的一切。幸好,他会阅读加州大学河滨分校的数学家John Baez的博客,当他看到一篇谈论法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)万有覆叠问题(universal covering problem)的文章时,他意识到,这正是能深深吸引他的东西。


万有覆叠问题


这个问题最初是由勒贝格提出的。1914年,勒贝格在给朋友Julius Pál的信中问道:对于许多不同(但都具某种共同特征)的形状,能够覆盖他们的最小面积的形状是什么?


这,就是所谓的万有覆叠问题。


在脑海中想象一系列不同尺寸和形状的剪纸图形。然后,想象着设计另一个形状,它刚好大到能覆盖那一系列形状。你可以动手做实验,剪一个形状覆盖在上面,旋转一个角度,感受下解决方案应该是什么样的。


假如你找到了一个万有覆叠又要怎样才能知道这就是面积最小的形状呢?你可以继续回到寻找覆叠的那一步,找一些边边角角,这里剪一点,那里剪一点。


 什么形状可以覆盖如此多种多样的形状呢?


这正是勒贝格万有覆叠问题的精神宗旨。只不过这个问题考虑的不是修剪,而是任意两点间的距离不超过一个单位的形状。圆是最明显的直径可以为1的形状,但是还有无限多的其他形状:等边三角形、正五边形、正六边形、三边膨胀的勒洛三角形(Reuleaux triangle),这些还只不过是开始。正是形状的多样性使得我们在寻找最小覆叠时困难重重


 黄色部分为勒洛三角形。


Pál在收到勒贝格的来信后不久,意识到正六边形是一个万有覆叠。然后,他找到了一个更好的答案。他注意到,可以剪切掉正六边形下方两个不连续的角,得到的形状有着更小的面积,却仍然是一个万有覆叠。


在接下来的80年,另外两个数学家在Pál的万有覆叠的基础上,又剪掉了一些角。1936年,Roland Sprague去除了一个角的一部分。1992年,H. C. Hansen又剪切掉了左下角和右下角的两个非常小的楔形,它们的面积只有0.00000000004个单位。



上面的示意图不可避免的具有误导性,因为根本不可能按照实际尺寸画出这个形状,事实上,这些剪切掉的面积几乎只是原子尺寸的碎片。


2013年,Baez的数学博客让沉寂多年的勒贝格万有覆叠问题不再默默无闻。Baez承认,自己对这个问题的兴趣有些病态,自己被这个问题吸引,就像一个人会被昆虫淹没的景象吸引一样——露出水面的面积变得越来越小。它似乎并不是一个重要的问题,自己也很难看到它与许多其他美丽的数学的联系。但是,相比于最初的想法,这个问题似乎惊人的困难,钻研这个问题的人就像是决定要滑雪穿越南极一样。


这个问题从来没有多少数学家关注,因此,Gibbs想,或许他能在这个问题上取得一些进展。他还意识到,自己的编程背景其实是一个优势,他可以用计算机做一些数学实验。


原子尺寸的剪刀


2014年,Gibbs用计算机随机生成了200个直径为1个单位的形状,并用它们做数学模拟。结果表明,他或许可以在先前最小覆叠的顶角处剪切掉一些面积。然后,他证明这个新的覆叠对所有可能的直径为1个单位的形状都适用。Gibbs将证明寄给Baez,Baez让自己的一个学生Bagdasaryan来帮助Gibbs,将证明修改成更加正式的数学风格。2015年二月,三人将论文发表到网上。


这次新的结果将最小万有覆叠的面积从0.8441377减少到0.8441153个单位,剪切掉的那部分面积只有0.0000224个单位,几乎是1992年Hansen剪切掉的面积的一百万倍。


Gibbs相信自己可以做得更好。刚刚过去的十月,他又从之前的万有覆叠中削掉了“庞大的”一片,将面积减少到了0.84409359个单位。



Gibbs所采用的策略,是将所有直径为1的形状都放到之前的最小万有覆叠的一个角落,然后剪切掉相反角落多余的面积。他必须精确地计算出减少的面积。Gibbs使用的数学技巧全部来自欧几里德几何,但他所需要达到的计算精度,是会让高中生目瞪口呆的。


Gibbs相信,还有很大的空间去找到更好的最小万有覆叠。而Baez希望Gibbs为勒贝格万有覆叠问题带来的关注,能激发其他数学家的兴趣。到那时,或许就可以丢掉初级的欧几里德几何,转而使用更现代的数学技巧,以一种截然不同的想法面对这个问题的挑战。



来源:原理

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