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周末消遣聊数学:数学的陈年佳酿

2017-08-26 11:39 汪晓勤

作者:汪晓勤 

来源:每天好玩的数学

摘自:《数学文化》2013/第4卷第1期,数学家随笔《陈年佳酿》

诺贝尔文学奖得主、中国作家莫言在瑞典获奖演说中曾言到:“我是一个讲故事的人。因为讲故事,我获得了诺贝尔文学奖。”


其实,我所敬仰的那些先哲都是讲故事的人。幽默的德·摩根(A. de Morgan,1806-1871)在《悖论集》中讲述了形形色色化圆为方的故事;严肃的希思(T.L. Heath,1861-1940)在《希腊数学史》中讲起拿破仑军队远征遇河、随军工程师以古希腊泰勒斯的角边角方法解决测量难题的故事;古板的卡约黎(F. Cajori,1859-1930)竟在他的《数学史》中讲述佛祖释伽牟尼年轻时代追求爱情、最终用等比数列解决难题的故事;睿智的伽莫夫(George Gamow,1906-1968)在他的《从一到无穷大》中则用荒岛寻宝的故事来揭示虚数的奥秘。


比利时-美国科学史家萨顿(G. Sarton,1884-1956)也是一位讲故事的学者。他曾经为我们讲述了三个名人的轶事。第一件,17世纪法国古典学者、中世纪拉丁语和希腊语辞典的编写者迪康热(C. du Cange,1610-1688)每天工作14小时,即使在结婚纪念日还要工作6-7小时。第二件事是17世纪瑞士数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)收到他儿子的老师皮克泰(B. Pictet,1655-1724)的一封信,信上说:“先生,你的儿子是一个普普通通的学生,我始终示能使他每天工作超过13个小时;不幸的是,他的榜样被仿效;年轻人不肯理解,要成为有用的学者,他们的灯必须点燃在工匠的灯之前。”第三件是,19世纪英国著名考古学家弗雷泽爵士(J. G. Frazer,1854-1941)在大三(剑桥大学三一学院)的时候因上一个学期只读了57部希腊和拉丁著作而写信向导师致歉!


尽管萨顿觉得自己远不如前人,但他实在是够勤奋的了。他的女儿梅·萨顿在悼念父亲的诗(刘兵译)中这样写道:


生活在一个天真的世界

在那里会有强烈的孤独感;

写信写到很晚,

在一只橙色的小猫身上找到慰藉——

鲁弗斯和乔治的交流不用语言,

乔治工作,而他的鲁弗斯喵声

不断——

此时,邻里们看到他的灯光

因学者深夜的工作而感到温暖。


在萨顿生前,邻居们已经习惯从萨顿房间窗口透出的灯光;在他去世后,这灯光,竟成了邻居们怀念的对象!


萨顿


数学史上从来不乏勤奋执着的先驱者。古希腊哲学家泰勒斯(Thales,前6世纪)因天文观测而掉入阴沟。阿那克萨戈拉(Anaxagoras,499 B.C.-428 B.C.)发出了“人生之意义在于研究日、月、天”的豪言壮语,他为追求真理而放弃财产,为传播真理而身陷囹圄,在铁窗下依然钻研不辍。


《南史·文学传》说:


暅之字景烁,少传家业,究极精微,亦有巧思。入深之妙,般、倕无以过也。当其诣微之时,雷霆不入。尝行遇仆射徐勉,以头触之,勉呼乃悟。


祖暅(6世纪)最终解决了球体积难题,登上了中国古代几何学的巅峰。这骄人的成绩使他成了那个时代中国最著名的数学家,难怪颜之推在《颜氏家训》中说:“算术亦是六艺要事,江南此学殊少,唯范阳祖暅精之。”成功的背后,是“雷霆不入”的专注,是感人肺腑的执着。


16世纪法国数学家拉缪斯(P. Ramus,1515-1572)少时家贫,祖父是烧炭的,和白居易笔下的卖炭翁并没有什么两样。父亲则是个卑微的农夫。家徒四壁,入不敷出,是这个家庭的写照。12岁时,拉缪斯成了一位富家子弟的仆人。那富家子弟进了巴黎大学纳瓦尔学院读书,拉缪斯白天伺候主人,黑夜挑灯苦学,9年后竟获硕士学位。令我们更为惊讶的是,他的硕士论文题目竟是《亚里士多德所说的一切都是错的》!亚里士多德说,重的物体比轻的物体下降得快;亚里士多德又说,斜抛物理,沿直线到达最高点后,垂直落降落。世人宁愿怀疑自己的眼睛,也不会怀疑亚里士多德的断言。可是,初生牛犊不怕虎。拉缪斯不迷信权威,他和后来的笛卡尔一样,认为人的一生中对任何事情都至少要怀疑一次。

拉缪斯


16世纪英国数学家、天文学家约翰·第(J. Dee,1527-1609)在剑桥大学圣约翰学院读书时,每天只花4小时睡觉和2小时吃儿做礼拜,而另外18小时都用于学习。他以优异的成绩毕业,并成为刚刚成立的三一学院的研究员。同时代另一位法国数学家、更为人熟知的韦达(F. Viète,1540~1603)研究数学时常常三天三夜足不出户,其勤奋如此。


17世纪英国哲学家霍布斯(T. Hobbes,1588-1679)偶然在一位绅士的图书馆里看到欧几里得《几何原本》打开着,正好在毕达哥拉斯定理那页上。他读了这个命题。“天啊,”他说,“这是不可能的。”于是他逐字逐句阅读了后面的证明。可是,证明用到了前面的一个命题,于是他只好又读了那个命题。而那个命题又用到前面另一个命题,他又读了那另一个命题。最后他终于读完毕达哥拉斯定理的整个证明以及所用到的所有命题,终于对他深信不疑。从此,他对几何学产生了浓厚的兴趣。那一年,霍布斯四十岁。


托马斯·霍布斯


莫道中年万事休,笃志勤学事竟成!霍布斯后来成了数学家。同时代很多人都惋惜:如果霍布斯能早一点开始学数学,那么他对数学的发展一定能做出很大的贡献。但我们没有理由苛求霍布斯跻身一流数学家之列,他已经为后人留下宝贵的精神财富。

18世纪法国数学史家蒙蒂克拉(J. E. Montucla,1725-1799)在他的《数学史》中讲述了古希腊大数学家阿基米德(Archimedes,前287-212)的故事:公元前212年,阿基米德的家乡叙拉古被罗马人攻陷。当时,阿基米德仍在专心致志地研究一个几何问题,丝毫不知死神的临近。当一个罗马士兵走近他时,阿基米德让他走开,不要踩坏他的图形,罗马小卒残忍地用刺刀危害了他。


阿基米德之死


18世纪法国著名女数学家索菲·热尔曼(S. Germain,1776-1831)生活在对女性充满偏见的时代。人们认为,女性并不适合从事科学研究工作,解剖学家甚至声称:女性的大脑结构较男性简单。在这样的时代,绝大多数女性失去了接受高等教育的机会。彷徨之中的索菲偶然在父亲的书房里发现蒙蒂克拉的书,读到了阿基米德的故事,深感数学是世界上最有魅力的学科,于是下定决心学习数学。为了阻止她,父亲没收了她的蜡烛和取暖的工具,但是,在墨水结冰的漫漫冬夜,索菲点起偷偷藏着的蜡烛,身上裹着毯子,依然故我,勤学不怠!19世纪法国数学家泰尔凯(O. Terquem,1782-1862)描述了索菲亚年轻时的学习经历:


“在极度痛苦之中,这位年轻的先知在抽象世界中寻求解脱。她浏览蒙蒂克拉的《数学史》,研究裴蜀(E. Bézout,1730-1783)的著作,甚至在1793年血腥的农神节期间,她也闭门不出。她整天沉浸于对勒让德和居森(Cousin)著作中的数论和微积分的思索,成了隐居者。她进步神速。1801年,她伪托巴黎综合工科学校一男生的名字开始了与高斯的通信往来,讨论高斯刚出版的《算术研究》和其他内容。在1804年的战役中,热尔曼家的朋友、炮兵将军佩尔内提(Pernetty)在布伦瑞克把这个冒名的‘学生’的真名告诉给了这位大数学家。从未怀疑过这位通信者性别的高斯吃惊不小。他在后来的通信中对这位年轻的法国人深刻敏慧的心智表示钦佩,由于战争,当时这位德国教授平静的书斋生活被打破,感情上受到了伤害,对我们国家产生了厌恶感,在这种情况下,他对热尔曼的钦佩就越发显得真诚了。”


索菲·热尔曼


高斯在信中这样写道:


“当我得知我尊敬的通信者勒·布朗先生摇身一变,成为这么一个曾经制造出令人难以置信的杰出摹本的名人时,我如何才能描述我的惊讶和钦佩呢?爱好这门抽象的科学,尤其是数的秘密的人如凤毛麟角:这毫不足怪,因为这门崇高科学只对那些有勇气探究它的人展示其迷人的魅力。而当一位女性在通晓其中的难题时,由于性别以及我们的世俗和偏见,她遭遇了比男性多不知多少的障碍,却要克服这些桎梏,洞察隐密奥义,她无疑有着最为高贵的勇气、超凡的才能和卓越的天赋。这门科学为我的生命增添了许多快乐,没有什么事情能比你对它的爱好更令人心悦诚服,更确实无疑地证明它的魅力并非子虚乌有。”


热尔曼最终成为了一代数学名家。

高斯


19世纪的苏格兰人华里司(W. Wallace,1768-1843)是中国人不应忘记的数学家,因为他正是中国历史上上第二部微积分教材《微积溯源》的原作者。少年时代,华里司因父亲破产而辍学,并成了印刷厂的一名学徒工。


华里司偶然结识了一位上了年纪的木匠,而这位木匠当时正受雇于著名物理学家、爱丁堡大学自然哲学教授约翰·罗比逊(J. Robison,1739-1805),做罗比逊的实验助理。老木匠是位有文化、爱读书的人,他虽然对数学一窍不通,但整天和物理学家在一起,耳濡目染,不免对科学怀有一份崇敬之心;并常常因与自然哲学大教授为伍而自豪。他在知道华里司酷爱数学之后,有心把他引荐给罗比逊。华里司学徒期满,老木匠写好推荐信,劝他去找罗比逊教授。他鼓起勇气去了爱丁堡大学。教授告诫:搞数学研究不可能给这个世界带来什么益处。或许,罗比逊是要试试华里司是否真心热爱数学。华里司回答:人活着既然注定要含辛茹苦,他希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。此言一出,罗比逊当即邀请他来听自己的自然哲学课。罗比逊又把华里司引荐给著名数学家普雷费尔(J. Playfair,1784-1819)。


18世纪末,尽管欧洲的印刷术发展很快,但印后装订仍离不开手工:书页印出后,工人依次将书页堆放成一圈;然后按顺序在每一堆上取一页叠放好,最后装订成册。华里司出师后,在印刷厂做了一名装订工。他每天做的是装订成册之前的那道工序。在枯燥的重复劳动过程中,华里司不忘学习,在墙上贴满拉丁词汇表,转一圈,必记上一个拉丁文单词。就这样,他学会了拉丁文,并得以钻研欧洲大陆的数学著作。


华里司最终成为爱丁堡大学的数学教授。从学徒到教授,华里司用自己的勤奋书写了人生的传奇故事。

华里司


《微积溯源》的译者、中国数学家华蘅芳(1833-1902)14岁开始自学数学,凡遇到数学书,辄爱不释手。曾用22种方法证明勾股定理,真可谓才华橫溢,后生可畏。


20岁时,华蘅芳来到上海,去墨海书馆拜访著名数学家李善兰(1811-1882)。当时,李善兰和墨海书馆的负责人英国传教士伟烈亚力(A. Wylie,1815-1887)正在合作翻译英国数学家德·摩尔根的《代数学》和美国数学家罗密士(Elias Loomis,1811-1889)的《解析几何与微积分基础》(译名《代微积拾级》)。李善兰这样向他介绍微积分:


“此为算学中上乘功夫。此书一出,非特中法几何尽废,即西法之古者亦无所用矣。”


这是华蘅芳平生第一次知道数学上除了天元术以外,竟然还有微分、积分之术。这对于热爱数学的华蘅芳来说无疑充满了难以抗拒的诱惑力!他从李善兰和伟烈亚力的译稿中抄录数条,拿回家细看,结果,茫茫然一无所获。

华蘅芳与《微积溯源》


几年后,中国第一本微积分教材《代微积拾级》出版了,李善兰送了一本给华蘅芳。展卷披阅,不知所云。的确,如果我写出书中的一个公式给你看——

你一定会看傻眼。无奈之下,华蘅芳只好又跑到墨海书馆,向李善兰求教。李善兰如是说:


“此中微妙,非可以言语形容,其法尽在书中,吾无所隐也。多观之,则自解耳。是岂旦夕之工所能通晓者哉!”


听了李善兰的话后,华蘅芳拿《代微积拾级》“反复展玩不辍,乃得稍有头绪”。华蘅芳对自己学习微积分的这个艰难过程作了一个精彩的比喻:


“譬如傍晚之星,初见一点,旋见数点,又见数点、数百点,以致灿然布满天空。”

《代微积拾级》书影


顺便提一句,伟烈亚力来华前只是一介木匠。英汉两种版本的《圣经》是他学习汉语的唯一工具。他利用两种版本的《圣经》,竟自编了一本英汉词典!来华后,每天只睡6小时,工作之余,手不释卷。


先哲们在困难面前所展现出来的勇气也常常令我们汗颜。


1605年秋,中国著名科学家徐光启(1562-1633)在北京向意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610)了解西方的教育情况。说到数学时,利玛窦盛赞《几何原本》之精,又陈述此书汉译之难,还说起昔日和中国人合作失败的种种经历。的确,要翻译拉丁文版的《几何原本》,谈何容易!且不说徐光启连一个拉丁文单词也看不懂,那么多中国传统数学中所从未有过的数学术语首先就让人望而生畏。可是,徐光启却说:


“吾先正有言:‘一物不知,儒者之耻。’今此一家已失传,为其学者,皆暗中摸索耳。既遇此书,又遇子不骄不吝,欲相指授,岂可畏劳玩日,当吾世而失之!呜呼,吾避难,难自长大;吾迎难,难自消微。必成之。”


其坚定的决心、过人的勇气和强烈的使命感溢于言表。于是,两人口授笔录,反复推敲,三易其稿,终于在1607年春把《几何原本》前六卷译完并出版。


我们今天常说:“困难像弹簧,你弱它就强。”其实,先哲早就说过了。


被誉为“昆虫世界的诗人和预言家”的法布尔(J. H. Fabre,1823-1915)师范毕业后被分配到乡下一个条件十分简陋的、全校教师只能挤在唯一一张校长餐桌上吃饭的学校教书。尽管读师范时学过一些平面几何知识,但作为文科生的他,数学知识、特别是代数知识依然相当贫乏。用他自己的话说,开一个平方根,证明一个球的表面积公式,已经是科学的顶点了。打开一张对数表,立即头晕目眩。可是有一天,一个报考桥梁工程专业的年龄与他相仿的不速之客登门造访。原来,这位年轻人的考试科目中有数学,为了通过这场考试,他希望法布尔能辅导他学代数。真是病急乱投医。法布尔先是吃惊,接着是犹豫;但最后,不知从哪儿来的勇气,他竟然答应人家了:后天开始上课。自己不懂游泳,却要教别游泳,怎么办?勇敢的办法是自己先跳进海里!这样,在濒临淹死的时候也许会产生一股强大的求生力量。可是,法布尔不光对代数一窍不通,而且连一本代数书都没有:他想跳进代数学的深渊,可是连深渊都没有。他想去买一本,可是囊中羞涩,况且他那里可不是巴黎,想买就能买到的。离上课只有24小时。有了!有位教自然科学课的先生,是学校领导层的人物,尽管在学校他有两个单间,但平时住城里,也算是上流社会的人物了。法布尔猜想他房间里必有代数书;但由于人家高高在上,又怎敢开口言借?只有一个办法:偷。如果那时中国作家鲁迅已经写出小说《孔乙己》来该多好,这样法布尔也许不会责备自己了。正逢休假日,四顾无人,法布尔幸运地用自己房间的钥匙打开了那城里度假的主人的房间。天从人愿!双腿有些发抖的小偷从书柜里搜索出三指厚的一本代数书来。


法布尔


神不知鬼不觉,法布尔回到了自己的房间。他急切地打开书本,一页又一页地翻看着,了无兴趣。大半本书翻过去了,突然,他的眼光停在了一个章名上:“牛顿二项式”。誉满全球的17世纪英国大科学家牛顿,他的二项式是怎么回事?强烈的好奇心促使法布尔拿起笔,一边看,一边在纸上写字母的排列和组合,整整一个下午在排列和组合中度过。不可思议,法布尔竟然完全搞懂了。


这下,他可以从容地应对明天的数学课了。这真是与众不同的课,人家从头开始教,而法布尔则几乎是从末尾开始教。他时而耐心地讲授,时而和学生进行讨论,第一次课获得了巨大的成功。牛顿二项式定理大大增加了法布尔的自信心。法布尔继续向更多的代数知识发起冲击,壁炉里的火光伴着他度过了一个又一个不眠之夜。


在知难而进的老师和忠实勤奋的学生共同努力下,他们最后啃完了代数课本。那年轻人如愿以偿,通过了考试,而那本代数书被偷偷地放回了原处。


法布尔继续向解析几何发起了冲击,他这样描述自己的学习历程:


“当我失足掉进一个未知世界时,有时能找到炸药把它炸开。刚开始是小颗粒,颗粒结成小团滚动着,越来越大。从一个定理的斜坡滚向另一个定理的斜坡,小团变成大团,成了有巨大威力的弹丸,它倒退着向后抛,劈开了黑暗,现出一片光明。”


经过一年多的努力,他顺利拿到了数学学士学位。掌握了数学知识,法布尔终于成了“蛛网测量员”。


数学人文,清新隽永;陈年佳酿,历久弥香。一次穿越时空的心灵之约,让我们收获几许心灵的启迪。先哲的数学故事会引发我们对以下问题的思考:


  • 对于学业,应该持何种态度?

  • 应该如何面对工作、学习和生活中的挫折、失败和错误?

  • 应该怎样对待学术权威和世俗偏见?

  • 应该怎样看待数学在人一生中所扮演的角色?


最后,我想说,我也是一个讲故事的人。我指望因为讲故事获什么奖。但我知道,因为讲故事,我让自己的数学课变得不再枯无味,让我自己的学生变得更有教养、更有文化、更有追求、更懂得生命的意义。我还想说,如要每一位数学教师都会讲故事,那么,我们的数学教育一定会变得很美好。


 


作者简介:汪晓勤,中国科学院自然科学史研究所博士,现执教于华东师范大学数学系,主要研究方向为数学史、数学文化与数学教育。先后在《自然科学史研究》、《自然辩证法研究》、《自然辩证法通讯》、《数学教育学报》等刊物发表论文170余篇,著有《中西科学交流的功臣——伟烈亚力》、《中学数学中的数学史》、《HPM:数学史与数学教育》等。


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