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常用Structural信用违约模型及违约概率推导

2016-07-23 00:05 Jiang

信用产品在金融市场中占了很大的份额,诸如公司债券、CDS等高流动性产品。而且信用违约的问题还牵扯到了交易对手违约,可以说是在所有OTC产品中都有着很重要的地位。

一般来讲,对于与信用相关的产品,有两种主流的信用违约模型:Structural approach与Reduced-form approach。

因为违约后的rocovery清算有两种情况,一个是在一个给定时间(比如contract到期日)再清算,还一种可能就是违约后立刻清算。为了统一,我们假设下述所有分析,都是在违约后立刻清算,而且没有任何recovery,而且假设无风险利率与违约是conditional independent的。

Structural的方式,说简单一些就是把违约事件,当作了一个boundary-crossing problem。也就是我们找到一个随机过程来模拟目标的liability,当它超过了一个边界的时候,违约就会发生。我们这里只讲四种case,分别是莫顿模型,布朗运动(Brownian motion),位移布朗运动,以及布莱克模型。

(1)莫顿模型

莫顿模型是最简单的Structural approach,莫顿模型假设目标企业的liability是一个几何布朗运动L_t,SDE如下:


当在最终清算日T时刻,如果L_t超过了一个level,我们设为K,那么就会发生违约。值得注意的是,在这个模型里,违约只会在清算日T时刻发生。

那么我们做一点简单的数学,用一下Ito lemma,可以得到L_t的表达式为


那么,违约的发生概率就是


其中N代表标准正态分布的累积函数。因此在这种结构下,这家企业的一个简单零息债券的价格就是


(2)布朗运动

我们假设目标企业的liability变化是一个普通的布朗运动W_t,当W_t在超过K时,违约就会发生。在这里,违约会在清算日之前任意一个时刻发生,因此违约事件的概率其实就是一个布朗运动的boundary-crossing概率。

那么根据反射原则,我们很简单的就能得到违约的概率就是



因此,在这个模型下,债券的价格就是


顺便说一句,这里的违约时间这个distribution的概率密度函数是这样的


(3)位移布朗运动

从这里开始,情况会比较复杂,会用到测度变换。在这里,我们假设liability是


我们构造一个Radon-Nicodym derivative,形式为


则根据Girsanov,\tilde{L}_t
在Q*测度下就是个普通的布朗运动。那么,违约时间的密度函数也就是


这里就是tricky的地方了,因为过程的连续性,在\tau属于dt的时候,我们有\tilde{L}_t=\tilde{K}。进而上述式子等于


所以


而这个积分并不困难,是有闭解的,有兴趣的朋友可以自己搞定。而在这个架构下,债券的价格比较复杂,而且思路已经给出,剩余的只是枯燥的计算部分,我们省略掉。


(4)布莱克模型

布莱克模型是前两种模型的一个结合,即我们用几何布朗运动L_t来模拟liability,然后只要L_t超过了K,违约就会发生,即违约可以发生在任意时刻。因此布莱克模型中违约的概率就是一个几何布朗运动的boundary-crossing概率。

我们做一些计算,可以推导出来

而这个也就是第三部分中的位移布朗运动。


总结:


可以说,Structural model用一种具体的过程来模拟公司的liability,然后研究这个过程的boundary-crossing概率。不同的过程就会有不同的结果,与现实不同的拟合程度。而这个方法其实不光是仅仅被应用到了信用模型中,在精算里,Ruin theory其实很大程度上也是在研究这一部分的内容。


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