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2019-06-09 15:40 QIML编辑部


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那些被忽略的数学常数

圆周率Pi在数学中无处不在:



欧拉恒等式用Pi把5个最重要的数连在一起。海森堡测不准原理包含圆周率,它表明物体的位置和速度不能同时精确测量。在许多公式中Pi是一个正态常数,包括高斯/正态分布。Reimann zeta函数取2时,收敛到一个因子Pi。



但是,本推文将向那有时被遗忘、有时被忽视的数学常数致敬。它们和圆周率Pi一样深刻,一样迷人!


欧拉数:e

欧拉数 e=2.71828...(Eulers Number)


蓝色区域为e的积分范围:



e 是无理数


欧拉借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数,观察这个连分数的形式(最左侧)1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10.... 也就是说这种能够一直被处下去的连分数,那就意味着它是个无理数。




这种现实产生了一个有趣的过程,称为spigot算法,可以用来计算许多位数e。下面有一个写好的Python代码对其进行实现,用于实现e的spigot算法:



这是原代码的地址。我们做了一些修改:

https://possiblywrong.wordpress.com/2017/09/30/digits-of-pi-and-python-generators/


通过使用连分数在数字的两个分数估计值(p0/q0和p1/q1)之间迭代来实现的。当观察到这些分数的小数收敛时,可以剥离一致的数字(例如:23/27 = 0.315068和34/108 = 0.314815可以剥离0.31)。更有帮助的是,我们可以在去掉这些数字后重新设置分数的基数,并保持分数的分子/分母较小。


代码中的lambda函数示连分数的分子/分母。我们将数据存储为字符串,以便存储数千个数字。


2004 年 7 月,谷歌在硅谷的 101 号公路边竖立了一块巨大的广告牌(如下图)用于招聘。内容超级简单,就是一个以 .com 结尾的网址,而前面的网址是一个 10 位素数,这个素数是自然常数 e 中最早出现的 10 位连续数字。能找出这个素数的人,就可以通过访问谷歌的这个网站进入招聘流程的下一步。



哪位大神如果觉得自己有两把刷子,可以把答案(任何语言编程)发送到公众号官方邮箱:


lhtzjqxx@163.com


届时我们把您的回答全网进行展示。


e在微积分中性质


e 描述增长率的自然常量, 并且还是唯一具有下面性质的函数:这个函数曲线上的每一个点的 y 值,在该点的斜率和面积都是相同的。x =1 时,函数值就等于e。斜率也是e,而曲线下的面积也是e。



也正是因为这主要性质, 使得它成为了微积分的你最喜欢见到函数(微积分也正是描述变化率, 极限求和的数学). 所以当在微积分课程中, 凡是遇到 e 的计算, 计算会简单一些。


最美的数学公式


既然提到了e,通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式(Euler's identity):



这个公式以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来,其中涵盖了数学中最重要的几个常数,堪称是最美的数学公式。


质数

质数(prime number)又称素数,有无限个。


质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。


也就是说,质数是所有其他数的组成部分!这在几个方面是正确的:


哥德巴赫猜说每个大于2的整数可以写成两个质数之和(例如12 = 7 + 5)。一个令人信服的观点指出,随着数字的增长,构建两个这样的数字的机会越来越多:100,例如有6对(3 + 97,11 + 89,17 + 83,29 + 71,41 + 59,47 + 53)。下图通过散点图说明了这一点。



拉格朗日证明每一个正整数的和四个平方总和即


310 = 17²+ 4²+ 2²+ 1²


假设这个公式是这样的:


3个数字在公式x + 3y + 5z中产生一个平方(例如2+ 1 ** 4 + 4 ** 2 = 25,即5²)。


另一个超级酷的事实是:蝉一生中的大部分时间都是在地下作为幼虫度过的,但在7年、13年或17年后,它们会飞到地面,繁殖后代,几周后就会死去。生物学家假设质数繁殖周期的长度是一种进化策略,以防止捕食者与其繁殖周期同步。


质数有许多类,其中一类将在下面计算的常数中出现。孪生素数就是指相差2的素数对,例如3和5,5和7,11和1。斐波纳契素数是一个素数,也是斐波那契数。一个Mersenne素数,有助于生成非常大的素数,遵循形式2^n-1。


已知的最大质数有2490万位数,但没有生成质数的公式。许多算法是已知的,其中最容易理解的是埃拉托色尼筛选法((The Sieve of Eratosthenes),简称埃氏筛法。该算法如下:


(1)先把1删除(现今数学界1既不是质数也不是合数)
(2)读取队列中当前最小的数2,然后把2的倍数删去
(3)读取队列中当前最小的数3,然后把3的倍数删去
(4)读取队列中当前最小的数5,然后把5的倍数删去

(5)如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取


示例


Apply sieve of Eratosthenes to find all primes in range 2..100.


Initial grid



2 is prime, mark all multiples of 2, starting from 4



3 is prime, mark all multiples of 3, starting from 9



5 is prime, mark all multiples of 5, starting from 25



7 is prime, mark all multiples of 7, starting from 49



112 is more, than 100, all unmarked numbers are primes



最终结果



Python代码的实现1



Python代码的实现2



Eratosthenes的正常筛子大约在多项式时间内运行,这意味着随着n(你最大可能的素数)的增长,时间增长n²(大约......)。 上面的算法通过使用两个不同和更复杂的公式来计算非素数列表来减少这种重复。


回到我们的Google广告牌。我们将e_list分割成10位数字,然后使用质数列表检查它们是否是质数。我们只需要检查100000因为没有100000²是一个11位数字。


Brun和Meissel-Mertens常数

素数出现在两个迷人的常数中,我们将在下面讨论。


Brun常数采用下面的形式:所有素数对的倒数之和



这个数字收敛极其缓慢,本身就很吸引人。这些分数的分母下降得很快——问题是即使对于非常大的数量,素数对也是相对常见的。事实上,Brun常数是未知的。 据估计 ~ 1.902160583104使用所有孪生质数¹⁶(即10万亿年),但仅证实小于2.347。


回归谷歌:该公司在拍卖破产Nortel corporation的专利时,曾以1,902,160,540美元的价格拍得布鲁恩常数(Brun’s constant)。随后的出价2,614,972,128美元,这反映了Meissel-Mertens常数(约0.26149 ......)。


Meissel-Mertens常数也称为Mertens常数或质数倒数和常数,是数论中的一个常数,定义为只针对质数的调和级数和自然对数的自然对数二者差的极限




虽然这个数的收敛速度比Brun常数快得多,但它的确切值还是未知的。


黄金比例和斐波那契数

黄金比例是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金比例。


2019高考数学就出了这道题:


题目(2019年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷理科数学)



各位不要看答案,自己知道怎么算吗?


自欧几里得时代以来,黄金比例在几何学中占有重要地位,并具有多种几何表示。



左:设A和B为等边三角形DEF边EF和边ED的中点,将AB延伸到DEF在C处的圆周上,AB/BC = AC/AB = 黄金比例。


右:五角星的颜色,用来区分不同长度的线段。这四个长度之间呈黄金比例。



左:普通五边形的黄金比例可以用托勒密定理来计算。


右:一个接近黄金螺旋的斐波那契数列,使用斐波那契数列的平方,最大可达34。螺旋从内1×1的正方形开始,向外依次画出较大的正方形。


斐波那契数,亦称之为斐波那契数列(意大利语: Successione di Fibonacci),又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波那契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>=2,n∈N*),用文字来说,就是斐波那契数列由 0 和 1 开始,之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。


如上所述,当取连续的斐波那契数列的比值时,黄金分割比是收敛的。例如,89/55 = 1.61818,接近1.61803的真实值。黄金比例可以用无理数根5精确地定义。



黄金分割比也可以表示为连分数,所以我们可以使用上面的或e- generate algorithm来生成黄金分割比的数字。




你将注意到,与e代码相比,运行上面的代码需要一段时间。500,000要求算法返回500k个数字,而不考虑需要多少次连续分式迭代。黄金比率连分数收敛缓慢,这是有道理的:分母上的数字越大,重复出现的加法分数越小。


数学是奇妙的,是美的。

公众号全体成员热爱着数学!


—End—


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