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Leibniz 如何想出微积分?(二)

2017-01-07 22:17 算法与数学之美

请先欣赏《Leibniz 如何想出微积分?(一)


四、差和分学:从 Pascal 三角到 Leibniz三角

在1672年春天,Leibniz 抵达巴黎,他的第一个成就是发现求和可以用求差来计算,即用减法可以求算加法。后来他曾描述他为何会想到差分以及差分的差分(即二阶差分)等等的概念,并且强调差分扮演着他的所有数学思想的主角。在逻辑中,他彻底地分析真理,发现终究可化约成两件事:定义与恒真语句 (indentical truths)。反过来,由恒真语句就可推导出丰硕的结果。他举数列为例来展示:由 A=A 或 A-A=0出发,可得

A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0


即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0

令 A-B=KB-C=LC-D=MD-E=N,

则得


亦即差之和等于第一项与最后一项之差。

换言之,给一个数列 v=(vk),考虑接续两项之间的差

vk+1-vk=uk


所成的数列 u=(uk),叫做(右)差分数列(还有左差分,同理可讨论),那么显然有


采用登山的解释就很明白了:想象山路铺成台阶,每一阶相对于地面的高度为 v1v2vn+1,而阶差高度为 u1u2un,那么从甲地登到乙地共升高


另一方面这又等于 vn+1-v1,参见下图 1。

 


图1

 

例子:考虑立方数列及其各阶差分数列:


由此我们立即读出

1+7+19+37+61=125-0=125,

7+19+37+61+91=216-1=215,

6+12+18+24+30=91-1=90,

12+18+24+30=91-7=84

Leibniz 发现这个规律,觉得非常新奇、美妙,像小孩子玩积木一样兴奋不已。进一步,他研究 Pascal 三角(1654年,又叫算术三角)。Pascal 三角是作为开方、二项式展开、排列组合与机率之用,参见[2],Leibniz 却从中玩索出差和分的道理。下面我们列出 Pascal 三角常见的三种排法:

(I)


(II)


(III)


问题: 请说明上述 Pascal 三角的构成法。

在(II)的排列法中,斜对角在线的数相加,所得到的数恰好构成费氏数列(Fibonacci sequence):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

这个数列含有许多美妙的性质,我们不预备讲述。

由(III)的排列法中,Leibniz 立即读出许多关于行或列求和的结果,例如

3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34


同理

10+20+35+56=126-5=121

Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 时,对 Huygens 描述他用求差来求和的结果,Huygens 立即建议他做下面富于挑战性的问题。

问题:(Huygens 问题)

求无穷级数之和


这个问题涉及无穷多项的相加,它源自计算某种赌局 (a game of chance) 的机率。

这个级数每一项的分母恰是毕氏学派「形数」(figurate numbers) 中的三角形数:

 

 

因此,级数(1)就是三角形数的倒数之和。Leibniz 立即就求得这个和:因为


所以首 n 项之和为


从而


我们在机率史的文献上查不到 Huygens 的机率问题,不过我们倒有下面相关的例子:一个袋子装有一个白球及一个黑球,从中任取一个球,若得白球就停止;若得黑球,则再填加一个黑球到袋中,变成两黑一白,再任取一球,若得白球就停止;若又得黑球,则再添加一个黑球到袋中,变成三黑一白,如此继续下去,那么第一回合得白球的机率为 ,第二回合得白球的机率为 ,第三回合得白球的机率为 , … 等等,故终究得白球的机率为


Leibniz 解决了 Huygens 问题后,进一步模仿 Pascal 三角,建构一个今日所谓的「调和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角,一口气解决了更多求无穷级数和的问题。

调和三角是这样做成的:第一行排上调和数列,第二行依次排上第一行的前项减去后项之差,以后就按此要领做下去,结果如下:


由此调和三角可以读出


从而 Huygens 问题的答案是


另外我们也可以读出


 


等等。将(2)式乘以 3 就得到角锥形数的倒数之和:


将(3)式乘以4就得到


同理也可得


Descartes 说得好:

由一个例子的考察,我们可以抽取出一条规律。 
(From the consideration of an example we can form a rule.)

换言之,一个好的例子往往能够反映出一般规律,即特殊孕育出普遍,或所谓的「一叶知秋」、「见微知着」的意思。我们由上述例子归结出求和的共通模式 (pattern):

定理 1:(差和分根本定理)

对于给定的一个数列 u=(un)n=1,2, …,如果可以找到另一个数列 v=(vn),使得

un=vn+1-vn


那么就有


其中 且 a<b

我们引入适当的概念与记号:

定义:设 c=(cn) 为一个数列,令数列 为 (简记为 )。

我们称 为数列 c 的(第一阶)差分,Δ 为差分算子。 叫做定和分(简称和分)。

因此,定理1 引出了两个基本问题:

(i)研究差分算子 Δ 在运算上的基本性质。

(ii)已知一个数列 u=(un),求另一个数列 v=(vn) 使得 

第一个问题很容易,在此从略。其次,利用(i),第二个问题原则上也不难。在 中,我们称 v 为 u 的反差分数列或不定和分。事实上,已知数列 u=(uk)k=1,2, … 定义一个新数列 b=(bn) 如下:


则易验知 b=(bn) 满足


换言之,b=(bn) 就是 u=(un) 的一个不定和分。显然,u 的不定和分不唯一,可以无穷多个(例如(5)式再加上任意常数都还是 u 的不定和分),但是任何两个不定和分只差个常数。

对这一切作深入而有系统的研究就是差和分学的内容(包括差分方程)。差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助,因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。离散的差和分简单明了,再连续化就得到了微积分。一般微积分教科书往往有如下的缺点:忽略差和分学,或类推与连续化处理得不好。

 
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