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小学数学与伽罗瓦理论的一次奇遇

2017-05-10 22:44 曹海

小学数学与伽罗瓦理论的一次奇遇

来源:湖南.长沙砂子塘小学 曹海

编辑:Gemini





数学具有简单之美,可大多数人却无法感受到它的简单美,究其原因大概有两点:第一、他们小学时期没有感受到数学的简单美,从而没有产生对数学的兴趣;第二、中学时期由于难度上升,离感受到数学的简单之美就更加遥远了。有的甚至开始恐惧、厌恶数学,那也就是说,数学具有简单之美,只是对于少数人而言,这是真的美吗?其实,我们所说的数学具有简单之美,是人对数学的感受。数学本身当然没问题,有问题的是,很多人没有感受到它的美,因为它不像音乐之美,几乎每人都可以感受得到,同时音乐还可以抚慰你的心灵,激发你的动力(其实音乐与数学是有一定联系的,好的音乐的音量和音高一般来说是符合数学中的分形结构的)。


我怎么看待数学的简单之美?


人们对数学的简单之美或许会存在一点误解,觉得既然数学简单,就应该理所当然地大家都能感受得到,但实际上数学的简单是分层次的,对于一个学数学的人来说:童年时期看数学很简单,少年和青年时期看数学不简单,中、老年时期看数学还是简单,就好像佛家的人生三境界一样。而要达到第三重境界,最重要的还是童年时期,童年对数学产生了浓厚兴趣,对整个一生的数学学习可以说是至关重要!所以,我觉得数学之美,应该是给我们学数学的儿童,种下美的种子,然后经过少年和青年时期的“不简单”的磨练,从而在一代人的身上开出数学简单之美的花朵,如果我们想让数学更加充分地美其美,最重要的一点就是让更多的人能够感受到它的美,而不光只是少数人的游戏,甚至存在一些数学“较好”的人,嘲笑数学差的人的现象。而要做到这一点,就要尽我们每一个数学研究者和数学教育工作者的力量,来给我们儿童种下数学简单之美的种子,同时想到我们现今的小学数学:学了一个两位数乘两位数,横向上,可能就要为此练习几千道有关两位数乘两位数的练习题,其中绝大多数还是纯计算,有一小部分关于两位数乘法的应用题,其素材也是相当陈旧,没有活力,没有与小学生的自身的生活经历联系起来,就更别说纵向的认识了。


而实际上整个小学数学可以看成是一个有理数域上的活动,简单到只需用一个字母Q来表示就可以了。不管是算术还是几何,它们都是加减乘除的某种呈现形式,也就是说它对于四则运算是封闭的(任何两个或多个有理数进行加减乘除运算,结果仍然是有理数)。所以,当你在做数学应用题或计算图形的面积和长度时,你不用担心你的结果是一个怪胎,它肯定是你认识的数:整数,小数(有限小数、无限循环小数),分数。倒是我们列出来的算式中的每一步(加减乘除)表示的意义是什么,作为小学生的我们应该反复思考、多回味,这样我们才会积累起真正的运算经验,加深自己对加减乘除在具体情景中的理解,慢慢我们才有可能对加减乘除的理解越来越全面,而不是辛辛苦苦地做了许多题,最后还是只会记住自己记住的那些题目。明白了这一点,并坚持去思考题中的加减乘除代表的含义,对提高小学数学学习效率是有极大的作用的,慢慢你就会发现数学越学越简单。对于小学生来说知道该做什么,这已经成功了一大半,只是明白我们在做什么,就太困难了,因为有理数域Q,对于小学生来说,太浩瀚了,对于它的代数结构,小学生根本不可能有丝毫感受,为了弥补这个缺失,我决定为他们构造一个有限的代数结构:有限群。让他们通过一定量的计算来感受,代数结构的封闭性。最后,经过一半努力,一半运气,我找到了一个只需要三年级两位数乘以两位数,数学基础就可以理解的群。由于构造这个群的想法,是来自于我国著名数学科普作家:谈祥伯老先生,所以接下来,我将引用谈祥伯老先生在他的著作《数学不了情》中的话,来给出这个群的玩法介绍,谈老,把这样的一个群叫做“独立王国”。“独立王国,纯属子虚乌有,只是一个存在于纸面上的数字王国,一个自给自足的“土围子”。


它犹似与世无争的世外桃源,物产虽不丰饶,却是吃用有余,闭关自守,十足的超稳定结构。


莫非它是柏拉图的“理想国”?找遍地球上任何一个角落,这样的封闭社会是不存在的。但是,在小说家的自由驰骋里,它还是不断受到讴歌。孙悟空一个筋斗可以翻十万八千里之遥,但是翻来翻去,却翻不出如来佛的手掌心。


由此可见,如来的手掌对翻筋斗这种“运算”来说,便是一个封闭集合了。


中国古时候有所谓“壶中乾坤”的说法。不要轻视“小”,小有小的妙用。


我发现的一个群仅有10个成员,它们是{4,16,24,36,44,56,64,76,84,96},在这个独立王国里,加减乘除都残缺不全,例如:4+16=20,24-16=8,16×24=384,24÷16=1.5,其中208,384,1.5都不是这个独立王国里的成员了,但是有一种特殊的运算,可以让你在这个独立王国里随意翻筋斗,却不用担心翻出去。为了体现这种运算的特殊性,我们用符号来表示,它表示什么意思呢:先按普通乘法得出乘积,得出乘积后截取其末尾2位尾数作为特殊乘法的积,我们来看两个对比的例子就明白了,普通乘法:16×24=384;特殊乘法:1624=84。普通乘法:84×96=8064;特殊乘法:8496=64。普通乘法:64×64=4096;特殊乘法:6464=96,等等。了解了特殊乘法的法则,接下来你可以做的事情就多了:


①验证乘法交换律对于特殊乘法是否成立;

②验证乘法结合律对于特殊乘法是否成立;

③任意两个成员相乘(特殊乘法),看乘积是否还是这个集合的成员;

④这个独立王国里只有一个成员最特殊,你能找出来吗(想一想这个特殊成员的性质和我们普通乘法中的哪个数字是一样的);

⑤如果两个成员的特殊乘积等于这个特殊成员76),那么就称它们为互为逆元素,你能找出每个成员的逆元素吗?

⑥每个成员与自己相乘一定次数后,都会得到上面你找出来的最特殊成员(76),如果是通过自己的平方得到最特殊成员,我们就说这个成员的阶是2(例如:2424=76所以我们说24的阶是2);如果需要五个自己相乘才可以得到特殊成员,我们就说这个成员的阶是5,例如:3636363636=96363636=563636=1636=76所以我们说36的阶是5,依次类推。你能算出其它成员的阶分别是几吗?



 4

16

24

36

44

56

64

76

84

96

 4












16













24











36











44











56











64











76











84











96












如果你想亲自体验到其中滋味,我建议你自己去编造一个特殊乘法表或利用下面的“乘法表”来验证第③和第④条,第①、②、⑤条要单独计算验证,对于小学生来说用笔算感觉会更加好,如果你笔算非常熟练,也可以直接用计算器算。



这个群其实只是我发现的群的一个子群,因为元素个数比较适中,所以我就把它放在前面了,而我最开始发现的群是由20个成员的:{4、8、12、16、24、28、32、36、44、48、52、56、64、68、72、76、84、88、92、96}

    

下面我将简单介绍一下,这个“独立王国”的发现过程:

之前就有耳闻:教小学生群论是可能的。我当时的感觉是:这么抽象的内容,数学专业生都不易理解,如果硬是想办法嚼碎了喂给小学生吃,意义不大。去年寒假,在家休息时,一直在看谈详柏老先生的著作《数学不了情》,从中了解到,如果定义一种截取尾数乘法的话,我们就能够得到一个8阶五位数乘群,这个群G=4687596875218757187590625406251562565625,定义的乘法为:先按普通乘法算乘积,再截取结果末五位作为群乘的结果。神奇的是这样的乘法对于集合G是封闭的,①G中任意两个元素按这样的乘法相乘,其结果依然还是G中元素,跑不出G的范围。②96265相当于G中的单位元;③对于G中每个元素,都能通过计算找到其逆元素。同时还满足交换律,所以G不仅是一个群,还是一个阿贝尔群。但是,由于当时没有太多感觉,就搁浅了,没有深入研究。直到今年四月中旬,开通了自己的数学公众号,准备为提高学生的数学学习兴趣和数学研究能力,分享一些资源和自己的思考。要开始着手找素材了,所以就形成了一个习题库,从中发现并改造出,对于学生全面地理解加减乘除这四种运算的题目,但同时也没有落下坚持翻看大学专业数学书籍的习惯,其中《近世代数》从毕业以来,已经翻看了两三遍,但也一直是限于自己对大学知识的复习。直到最近要找数学题素材,再次翻到了谈老的《数学不了情》,又一次看到了4687596875218757187590625406251562565625,于是才产生要不要呈现给学生的想法,但是细想,这里面的数太大,对于三年级学生不太合适,虽然四年级学生可以用计算器来算,但我感觉这没有亲自动笔感受深刻,对于群的魅力感受也会打折扣,于是又放弃了。稍后,躺在床上,突然一个念头崩出来:五位数乘五位数太大,何不构造一个三年级就可以操作的两位数乘两位数,这个点子,马上让自己大脑兴奋起来,于是马上开灯,翻开近世代数,群论那一章,又把群的定义认真复习了一遍,接着随手在草稿纸上写了几个两位数,试着乘一下,看结果末两位有没有规律,结果感受到的是,两位数太多,无从下手……


第二天,上完课,坐在办公室,由于暂时地闲下来了,就想起了,昨晚构造群的事情,因为想到:如果能构造出一个两位数乘两位数乘群,不仅可以让学生很好地练习刚学的笔算乘法,还能让他们感受一下,群的代数结构的魔力,为他们日后学习数学专业也埋下了一颗种子,于是马上拿起纸和笔,陷入了思考:①两位数乘以两位数,结果是三或四位数,而谈老的五位数群中的元素都是较大的五位数,如果存在两位数群,是否也是一些较大的两位数;②谈老的群中的尾数都是57,那么这两个数字作尾数,是不是更容易使得运算封闭。于是,我马上制作了,尾数是5的两位数乘法表,把它们一一算出来,结果让我有点失落,此时我心想,希望应该不大,于是抱着没有希望的心态,继续思索:既然这种特殊乘法,只需要截取普通乘法乘积的末尾两位作为结果,也就是说特殊乘法的乘积,等于普通乘法乘积除以100所得的余数。于是,我们可以建立模为100的同余方程,假定我们要构造的群存在,则必有单位元,设为:a=10A+B,则对于群中任意元素a=10A+B,有:a×aamod100,即:10A+B×10A+B10A+Bmod100,展开,整理变形得:10AB+AB-A+BB-10mod100,说明:10AB+AB-A+BB-1为整百数,显然加号左边10AB+AB-A10的倍数,所以加号右边BB-1,也必须为10的倍数,则BB-1中,必有一个等于5,另一个为不大于8的偶数,下面对BB-1分情况讨论:①若B等于1,则BB-1)等于0,所以10AB+AB-A=10AB为整百数,即AB为整十数,考虑到A的不变性,所以A=5,则B=02468A1~9的任意数,于是我们得到单位元51,其它成员为所有末尾是02468的两位数,即偶两位数。通过检验发现:51乘以任意一个偶两位数,结果的末两位真的都等于这个偶两位数(你可以亲自验证一下),这确实让我欣喜不已,于是我继续验证封闭性:10×10=10020×10=200所以整十数不能满足封闭性,要去掉,接下来只剩:51,和尾数是2468的两位数了(共1+4×9=37个),由于有限群中每个元素的阶都有限,所以我可以通过元素自乘找到其它元素,并且得到单位元,想到这里我就发现了矛盾,因为不管是哪个偶两位数自乘,所得结果的末两位都不可能是51,这说明我好不容易找到的单位元站不住脚,不过我没放弃,还是继续乘(特殊乘法):12=4412=2812=3612=3212=8412=812=9612=5212=2412=8812=5612=7212=6412=6812=1612=9212=412=4812=7612=12,这一路算过来,我的心就像三角函数图像一样跌宕起伏,但最后的算式,让我看到了希望:12=12,说明76有点单位元的特质,于是我用76去乘前面用12生成的19个元素,都得到了该元素自身,也就是76可以看成这个集合的单位元,比如7652=52(普通乘法结果等于3952,7648=48......如果你想得到同样的惊奇感,你应该一一验证,接下来我又列了一个乘法表:



4

8

12

16

24

28

32

36

44

48

52

56

64

68

72

76

84

88

92

96

4





















8





















12





















16





















24





















28





















32





















36





















44





















48





















52





















56





















64





















68





















72





















76





















84





















88





















92





















96





















通过计算发现,每个结果都在这二十个成员之内!(其中48是计算之前未曾想到的)所以,只剩下37-20-2=19个成员需要检验了,它们分别是:14182226343842465458626674788286949851。通过计算:7614=647618=687622=72......发现,这些数与76相乘后得到的都不是它们本身了,说明:这些数不能以76为单位元,而上面20个元素已经是一个群了,所以这19个数只能舍去。到这里,我就成功地找到了一个群:一个只需小学三年级数学基础就能够有所理解的(Group)这的确让我欣喜不已,因为刚开始自己几乎都没抱任何希望的,而且在用同余方程寻找单位元这种方法时,第一次计算就得到了,这对于探索来说,已经是非常幸运的了,反而当我按同样的方法继续往下搜索时,就没有找到其它的群了,有也只是这个群的子群,而这我们根据近世代数的知识:对于有限群G,任取a属于G,可以得到G,以a为生成元的循环子群,根据这样的方法我又找到了3个群G={48121624283236444852566468727684889296}的子群,它们分别是:H=={24,76};H=={16,24,36,96,76}H=={4,16,24,36,44,56,64,84,96,76}(这也符合群论知识中任何子群H的阶必是群G的阶的因数)。


什么是数学的简单之美,当有更多的人能够感受到数学的简单时,才算是真正的数学简单之美。要想达到它,就要把数学教育慢慢改造成教育数学。关于数学教育与教育数学的区别,我国著名数学家,张景中院士早在1989年所写的《从数学教育到教育数学》中就给出了非常形象的比喻:把学数学比作吃核桃。核桃仁美味而富有营养,但要砸开才能吃到它。有些核桃,外壳与核仁紧密相依,成都人形象地叫它们夹米子核桃,如若砸不得法,砸开了还很难吃到。数学教育要研究的,就是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢,则要研究改良核桃的品种,让核桃更美味、更营养、更容易砸开吃净。我想,当我们拥有足够丰富的教育数学素材时,就会有更多的人喜欢数学,从而又会反过来更加快速地提升数学,到那时数学的简单之美就会更加熠熠生光,此文提供的20阶乘群,对于小学生来说它是一个玩具,对于中学生来说,可以让他们初步感受到代数结构的魅力,而把它提供给大学数学专业生作为学习素材的话,会让他们对群有一种亲近感(我自己当初在大学学群论时,很长时间都没有什么感觉),从而加速他们对于群这个代数结构的理解......



 
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