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微积分的发现是人类精神的最高胜利

2017-05-19 21:24 算法与数学之美

微积分的发现是人类精神的最高胜利

来源:数学英才

编辑:Gemini

在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那正是在这里。——恩格斯


微积分早期的思想基础
在25岁以前的伽利略就开始作了一系列实验,发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实,最基本的就是自由落体定律。 开普勒在1619年前后归纳为著名的行星运动三大定律。这些成就对后来的绝大部份的数学分支都产生了巨大影响。伽利略的发现导致了现代动力学的诞生,开普勒的发现则产生了现代天体力学。他们在创立这些学科的过程中都感到需要一种新的数学工具,这就是研究运动与变 化过程的微积分。

有趣的是,积分学的起源可追溯至古希腊时代,但直到17世纪微分学才出现重大突破。

积分思想的渊源

求积问题就是求图形的面积、体积问题。该问题的历史十分悠久,可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积,比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积,以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算。这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。

在积分思想发展的过程中,有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德,我国古代著名数学家刘徽,祖冲之父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献。

16,17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期,其杰出的代表有意大利天文学家、力学家伽利
略和德国天文学家、数学家、物理学家开普勒,卡瓦列里等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。

微分学思想的起源

微分学主要来源于两个问题的研究,一个是作曲线切线的问题,一个是求函数最大、最小值的问题。这两个问题在古希腊曾经考虑过,但古希腊对这两个问题的讨论远不及对面积、体积、弧长问题讨论得那么广泛和深入。

在这两个问题的研究上作出先驱工作的是费马。费马在1629年给出了求函数极大、极小值的方法。不过这个思想直至八、九年后才较多地为人所知。

开普勒已经观察到,一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。费马利用这一
事实找到了求函数极大、极小值的方法。它的根是使函数取极小值的。费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献,被称为微积分学的先驱。

费马处理这两个问题的方法是一致的,都是先取增量,而后让增量趋]向于零。而这正是微分学的实质所在,也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。
费马还曾讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素,利用矩形和曲线的解析方程,求出这些和的近似值,以及在元素个数无限增加,而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是,他没有认识到所进行的运算本身的重要意义,而是将运算停留在求面积问题本身,只是回答一个具体的几何问题。
只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念,认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算,并给予特别的名称-微积分。

在创立这些学科的过程中,他们都感到一种新的数学工具的需要,这就是研究运动与变化 过程的微积分。有趣的是,积分学的起源可追溯至古希腊时代,但直到17世纪微分学才出现重大突破。

费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献,被称为微积分学的先驱。

费马处理这两个问题的方法是一致的,都是先取增量,而后让增量趋向于零。而这正是微分学的实质所在,也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。费马还讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素,利用矩形和曲线的解析方程,求出这些和的近似值,以及在元素个数无限增加,而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是,他没有认识到所进行的运算本身的重要意义,而是将运算停留在求面积问题本身,只是回答一个具体的几何问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念,认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算,并给予特别的名称-微积分。

微积分的创立

十七世纪是从中世纪向新时代过渡的时期。这一时期,科学技术获得了巨大的发展。精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力;航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣;造船学,机器制造与建筑,堤坝及运河的修建,弹道学及一般的军事问题等等,促进了力学的发展。

在这些学科的发展和实际生产中,迫切需要处理下面四类问题:
1. 已知物体运动的路程和时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度。反过来已知物体的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与经过的路程。
计算平均速度可用运动的路程除以运动的时间,但是17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化,对于瞬时速度,运动的距离和时间都是0,这就碰到了0/0的问题。人类第一次碰到这样的问题 。 

2. 求曲线的切线。这是一个纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义。例如在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。在运动学问题中也运到曲线的切线问题,运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向。

3. 求函数的最大值和最小值问题。在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题,在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。

4. 求积问题。求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积,物体的重心。这些问题从古希腊开始研究,其中的某些计算,在现在看来只是微积分的简单练习,而过去曾经使希腊人大为头痛。事实上,阿基米德所写的著作几乎都是在讨论这类问题,而他的结果就标志着希腊数学的高潮。


正是科学和生产中面临的这些重要问题,促进了微积分的诞生与发展。


在微积分诞生和发展时期,一批伟大的数学家做出了杰出的贡献,例如,数学家伽利略,开普勒,卡瓦列里,费马,巴罗,牛顿,莱布尼兹等等。

科学的重大进展总是建立在许多人一点一滴工作之上,但是,常常需要有一个人完成“最后的一步”,这个人需要具有敏锐的洞察力,从纷乱的猜测和说明中整理出前人有价值的思想,需要有足够想象力,把这些孤立的“碎片”组织起来,并且能够大胆地制定一个宏伟的体系。在微积分诞生过程中,牛顿和莱布尼兹就是完成这一使命的巨人。

在微积分诞生之后的18世纪,数学迎来一次空前的繁荣,人们将这个时代称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们的主要工作就是把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域,并获得了丰硕的成果。

1661年,牛顿进入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记,从这些笔记可以看出,就数学思想的形成而言,笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算数》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分的道路。

1665年8月回到了家乡,在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作,这两年成为牛顿科学生涯中的黄金岁月,创立了微积分,发现了万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年构思的。

微积分的创建

1664年秋,牛顿开始研究微积分问题。当时,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”产生了浓厚的兴趣,并试图寻找更好的方法。就在此时,牛顿首创了小o记号,用它表示x的增量,它是一个趋于零的无穷小量。

牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月又建立了“反流数术”(积分法)。1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,现在称为《流数简论》。当时虽未正式发表,但在同事中传阅。《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”(即微商)的概念,虽然没有使用“流数”这一基本术语,但在其中提出了微积分的基本问题,用现在的数学语言可以表述如下:

1)已知物体的路程,求物体运动速度的问题。

2)已知物体运动的速度,求物体路程的问题。


牛顿指出,第一个问题是微分的问题,第二个问题的第一个问题的逆运算,并给出了相应的计算方法。在此基础上,建立了的“微积分基本定理”,它揭示了“导数和积分之间的内在联系”。当然,对微积分基本定理,并没有给出现代意义下的严格证明。在后来的著作中,对微积分基本定理,牛顿又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。


在牛顿以前,面积总是被看成是无限小不可分量之和,牛顿则从确定面积变化率入手,通过反微分计算面积。这样,牛顿不仅揭示了面积计算与求切线问题的互逆关系,并且十分明确地把它作为一般规律揭示出来,从而建立了微积分普遍算法的基础。

正如牛顿本人在《流数简论》中所说:一旦反微分问题可解,许多问题都将迎刃而解。

自古希腊以来,人们得到了许多求解无限小问题的各种特殊技巧,牛顿将这些特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术,即微分与积分,并证明了二者的互逆关系,进而,他将这两类运算统一成一个整体——微积分基本定理。

这是他超越前人的功绩,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分。在《流数简论》的其余部分,牛顿讨论了求曲线切线、曲率、拐点,求曲线长度、求曲线围成的面积,求引力与引力中心等16类问题。对这些问题的讨论,牛顿都是运用他建立的统一的算法来处理的,所有这些充分显示了牛顿创建的“微积分”算法的极大普遍性与系统性。

从1667年起到1693年牛顿用了大约四分之一世纪的时间,从事微积分方面研究。牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说,先后写成了三篇微积分论文:

(1)1669年完成了《运用无限多项方程的分析》,简称《分析学》;

(2)1671年完成了《流数法与无穷级数》,简称《流数法》;

(3)1691年完成了《曲线求积术》,简称《求积术》。


牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎,他的大多数著作都是经朋友再三催促才拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚,其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》;《分析学》发表于1771年;而《流数法》则迟至1736年才正式发表,当时牛顿已去世。

1687年,牛顿出版了他的力学名著《自然哲学的数学原理》,简称《原理》,在《原理》中,最早表述牛顿创立的微积分学说,因此,《原理》也成为数学史上的划时代著作。

《自然哲学的数学原理》的扉页

《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发,运用微积分工具,严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论,并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系,充分显示了这一数学工具的威力。

牛顿的科学贡献是多方面的。在数学上,除了微积分,他的代数名著《普遍算术》,包含了方程论的许多成果,如虚数根成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等;他的几何杰作《三次曲线枚举》,首创对三次曲线的分类研究,这是解析几何发展一个新的高峰;在数值分析领域,今天任何一本教程都不能不提牛顿的名字。

牛顿的历史功绩

牛顿是一位科学巨人,是人类历史上最伟大的数学家之一。与牛顿一样,为数学做出杰出贡献的数学家莱布尼兹评价道:“从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中,牛顿的工作超过了一半。”

莱布尼兹与微积分的诞生

1646年6月21日戈特弗里德·威廉·莱布尼兹出生在德国莱比锡。1661年他入莱比锡大学学习法律 ,又曾到耶拿大学学习几何,1666年取得法学博士学位。1672年他出差到巴黎,受到C. 惠更斯的启发 ,决心钻研数学。在这之后,他迈入数学领域,开始创造性的工作。这种努力导致了许多数学的发现,最突出的是微积分学说。牛顿创立微积分主要是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑。

从1684年起,莱布尼兹发表了很多微积分论文。这一年,他的第一篇微分学文章《一种求极大值极小值和切线的新方法》发表,这是世界上最早公开发表的关于微分学的文献。在这篇论文中,他简明地解释了他的微分学。文中给出微分的定义和基本的微分法则。

1686年他在《学艺》杂志上发表第一篇积分学论文。莱布尼兹精细设计了一套令人满意的微积分符号。他在1675年引入了现代的积分符号∫,用拉丁字Summa(求和)的第一个字母S拉长了表示积分。但是“积分”的名称出现得比较迟,它是由J. 伯努利于1696年提出的。

莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者。他在创造微积分的过程中,花了很多时间去选择精巧的符号。他认识到,好的符号可以精确、深刻地表达概念、方法和逻辑关系。他曾说:“要发明就得挑选恰当的符号。要做到这一点,就要用含义简明的少量符号来表达或比较忠实地描绘事物的内在的本质 ,从而最大限度地减少人的思维劳动。” 现在微积分学的符号基本都是由他创造的。这些优越的符号为以后分析学的发展带来了极大的方便。

莱布尼兹发明了一些其他符号和数学名词,例如“函数”(function)和“坐标”(coordinate)等。莱布尼兹多才多艺,在历史上无人可以匹敌。


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