微信号:MathAndAlgorithm

介绍:从生活中挖掘数学之美,在实践中体验算法之奇,魅力旅程,从此开始!

刚获得 2018 年阿贝尔奖的加拿大数学家朗兰兹有哪些学术成就?

2018-04-09 21:05 算法与数学之美
Edward Frenkel教授

Edward Frenkel教授的主要研究方向是数学与量子物理中的对称。他现在在做的许多问题都与朗兰兹纲领有关。他现在是加州大学伯克利分校的数学教授。

在今年的菲尔兹奖座谈会上,Frenkel会主讲朗兰兹纲领的概况。他是向公众普及数学、改善数学映象这一行动的推崇者。

以下他对Richard Cerezo关于朗兰兹计划的一些问题的回答。


问:你会把朗兰兹纲领看作联系数论与数学分析的数学语言的发展吗?

答:是的,实际上它更多地描述的是数论的内容。

问:你能够详细解释一下吗?

答:罗伯特·朗兰兹在1960年代创造朗兰兹纲领的动机,主要就是解决数论中的一些难题。

问:什么样的难题?

假如说我们需要解方程y2=x3+6x+3y2=x3+6x+3,我们需要找解x,yx,y,这个解不是实或复的,而是有限域Z/pZZ/pZ中的元素,这里pp是一个素数。也就是说,你在寻找在整数集合中的元素x,yx,y,当你将它们带入时,左边与右边只差pp的一个整数倍——我们称这个方程在"模pp"意义下成立。比如,令p=5p=5,取x=1,y=2x=1,y=2,左边等于44,而右边等于99,两边的差为55.所以x=1,y=2x=1,y=2是在"模55"意义下的解。

在数论中还有很多类似的问题。我们想知道的是,比如说,对于任意的素数pp,在模pp意义下有多少不同的解。这实际上是一个很难的问题。

朗兰兹的深刻的洞察力发现,解的个数其实可以用另外一个数学领域——调和分析来进行认识。

问:什么是调和分析?

它是对于某些种类的函数的研究。比如说,我们都知道的三角函数(变量为xx),sinx,cosxsin⁡x,cos⁡x.我们同样考虑sin(nx),cos(nx)sin⁡(nx),cos⁡(nx),其中nn为整数。这个思想可以追溯到19世纪傅立叶的时候。傅立叶发现,任意有周期的函数实际上可以写成这些基本函数的叠加。这是一个了不起的发现!相信我们有一个用函数表达的信号。将它写成三角函数的叠加实际上是将信号分解成了“基本的谐波”。这就是调和分析所做的事情:找到一些基本谐波,如同sin(nx),cos(nx)sin⁡(nx),cos⁡(nx),但比这个要来的更广泛。然后找到能把一般函数分解成这些谐波的方法。

这是一个美妙的理论,注意到从这个设定来看,调和分析似乎和数论离得很远。

但是奇迹发生了:朗兰兹猜想到这两个领域:数论以及调和分析是紧密联系在一起的!更准确的说,他猜测数论中的问题,如寻找模pp的方程解的个数可以用调和分析来解决。比如说,存在一个调和函数,它“知道”任意pp,某个方程在模pp意义下解的个数(或者是对于知道有限个pp的个数,但这只是一个技术上的问题)

这实在是太难以置信了,就像黑魔法一样!这也是为什么人们对朗兰兹纲领如此兴奋:首先,它给了我们一个解决难以对付的问题的想法。然后其次,是由于它给出了关于不同数学领域深刻而基础的联系。所以我们想知道到底发生了什么?为什么会有这样的联系?我们并没有完全理解。

所以这些是朗兰兹纲领的起源。但是人们又发现,同样的事情可以用到不同的数学分支上,比如几何,甚至是量子物理。我前面曾开玩笑道,朗兰兹纲领是数学中的大统一理论。我说这话的意思是,朗兰兹纲领指出了一些普遍的现象,以及在不同领域见这些现象的关系。我相信这能够帮助理解“数学究竟是什么”。

问:你能够更深入地说说为什么朗兰兹纲领是数学的大一统理论?

朗兰兹纲领是一个很广阔的问题,有许多专家工作于此。但正如我刚才所说,朗兰兹纲领的思想已经渗透到许多数学领域中。所以有人钻研数论,或调和分析,或几何,或数学物理研究不同的对象,但是发现了相似的现象。对于我来说,就是研究同样的模式怎么在不同的领域中表现的,从而找到这些领域是怎么联系起来的。

这就像我们有一些来自不同语言的句子,我们知道这些句子说的是一件事。我们把它放在一块,一一对应这些句子的每个单词,最后我们能编出一本翻译不同数学领域的词典。

用其他的话说,我们不把朗兰兹纲领看成数学的“领域”,而是看成“超领域”,因为它横贯整个数学世界。

问:是否有方法更通俗易懂地解释几何朗兰兹纲领?

我尝试着给出一个让人都明白的朗兰兹纲领的解释。这个解释是基于纲领的原始想法的。

当人们提到几何朗兰兹纲领,他们认为是几何中一系列类似的想法。在几何中,除了前面我提到的模pp代数方程以外,我们还有一些刚开始看上去很不一样的对象:所谓的“黎曼面”。最简单的是球,而然后我们有面包圈曲面(曲面有一个洞),然后又有丹麦酥皮饼(两个洞),等等。为什么这些几何物体与模pp的方程有关还需要另外复杂的解释,我不会在这里提到。我们只说数学家已经知道并已长时间研究的事情,所以我们相信这个类比是对的。

所以自然的问题就是:另外一边对应的对象是什么?也就是nn个洞的黎曼曲面对应于调和函数中什么?这个并不显然,只在很后面,1980年代得知,是几个伟大数学家的工作:Deligne(德利涅),Drinfeld(德林费尔德),Laumon(洛蒙),Beilinson等等。

粗略地说,调和函数里的对象被称为“D-模”。D-模简要来说,是表达偏微分方程系统的数学对象。所以现在朗兰兹联系数论与调和分析的想法变为了连接黎曼面和D-模。这个联系如同原来的朗兰兹猜想一样迷人。

问:在其他类似于菲尔兹奖座谈会的会议上,人们讨论的中心内容是基本引理吗?你和你的合作者是否去试着证过这个结果?

让我先谈谈基本引理。在给出他纲领的时候,朗兰兹给出了如果他的纲领成立,那么必须成立的数学式子。他把这个结果称为“基本引理”。为什么他认为这是引理,而非定理?我猜想他认为这是一个挺简单的事情,人们可以直接一下子证明出来。但是,不巧的是,实际情况并不是他想象的这样。许多数学家试图证明该“引理”,无不以失败告终,直到越南数学家吴宝珠给出了一个漂亮的解答。他的证明利用了全新的几何想法(一些是先前由Goresky, Kottwitz, MacPherson以及Laumon引入的,一些是和吴宝珠本人的工作有关)

当然,人们知道基本引理是朗兰兹计划的核心内容。人们工作很久,并且召开了许多讨论这个引理的会议。但是你必须得了解一些事情。基本引理是在原本的朗兰兹纲领里的,更准确地说,它是调和分析里的理论。所以研究几何朗兰兹纲领的人,比如我,对此并没有多少关注。但是吴宝珠证明的引人注目的一面是它完全是几何的——于此同时,它使用了不少几何朗兰兹纲领的连接对象。所以吴宝珠的工作(除了证明了一个重要的未解决问题外)是将不同领域的数学家联系到了一起。

我们菲尔兹奖座谈会同样证明了这点:我们有不同领域的专家来讨论各种领域:数论,调和分析,几何以及物理。这是吴宝珠所作的工作。这在我眼中很重要。

问:现在已经有许多著名的数学家致力于朗兰兹纲领,它已经吸引了足够的注意。你能给我们继续在这个纲领上工作的理由吗?

我们获取更多知识,那么我们更了解自己的无知。正如我所说的,朗兰兹纲领的美妙之处在于它给出了数学不同分支的神秘联系。在我眼里,最大的问题是,这些联系为什么会出现,在它们背后的机制是什么。我们仍然不知道,但是我们在为此工作。比如说我最近与朗兰兹以及吴宝珠的工作,我们想给出所谓“Arthur-Selberg迹公式”的证明思路,用类似吴宝珠的方法以及几何朗兰兹纲领的思想。吴宝珠的工作使我们的想法更加成熟。我们现在更加了解拼图的几块是如何拼接起来的,但是我们需要新的思想。我希望来到我们座谈会的年轻人,能够对于这个领域感兴趣,他们将给出对于朗兰兹纲领的一次新的革命。

∑编辑 | Gemini

来源 | 罗辑思维


算法数学之美微信公众号欢迎赐稿

稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域

经采用我们将奉上稿酬

投稿邮箱:math_alg@163.com


 
算法与数学之美 更多文章 吴军:数学,为人生之题解出漂亮的答案 数学的关键是思想 为什么要从自然数扩大到实数,进而扩大到复数? 时间之箭:从熵到大爆炸再到万物理论 我为什么鼓励你读博士?
猜您喜欢 如何搭建轻量级架构-辅助工具篇 美国联邦政府加密标准AES-Ruby iOS自动布局高级用法及纯手码约束写法 如何在注释里优雅地吐槽 [一周阅读清单] Gradle、CI、阅读、工具推荐