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数学家眼里的相同与不同

2018-04-12 11:52 算法与数学之美


作者 | 张景中

来源 | 《数学家的眼光》


两样东西,相同还是不同,张三和李四可能有不同的见解。


一本小说和一本数学手册,对读者来说是很不一样的。到了废纸收购站,如果都是半斤,都是一样的纸,都是32 开本,就没有什么不同了。


即使是同一个人吧,他看小说的时候,内容的不同对他是很重要的。看得瞌睡了,把书当枕头,内容不同的书所起的作用也就大致一样了。


数学家看问题,关心的是数量关系和空间形式,用的是抽象的眼光。有些我们觉得不同的东西,数学家看来却会是相同的。


3 只小鸡、3只熊猫、3条恐龙,它们之间的差别可以使生物学家激动不已。但是对于数学家来说,无非都是干巴巴的数字“3”而已。月饼、烧饼、铁饼,到了数学家那里,无非都是圆。


数学家的眼光,又是十分精确而严密的。我们觉得一样的东西,或差不多的东西,数学家看来却会有天壤之别。


德国的鲁道夫曾经把圆周率π算到小数点以后的35位:


π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288......


用这样的π值计算一个能把太阳系包围起来的大球的表面积,误差还不到质子表面积的百分之一,够精确了吧? 但数学家看来,它和真正的π有本质的不同:这个数是有理数,而π是无理数!


一条线段上有无穷多个点。如果把它的两个端点去掉,线段的长度不会变,因为点没有大小,不占地方。也许你觉得,多这两个点和少这两个点没什么关系吧!数学家却不这么大方。他们对这两个点,可真是斤斤计较,或者更确切地说,是锱(zi) 铢(zhu) 必较。在数学里,带有两个端点的线段叫“闭线段”,不带这两个端点的线段便叫“开线段”。一开一闭,大不相同。在高等数学里,不少定理对闭线段成立,对开线段就不成立。



在数轴上,不等式0≤x≤1表示闭线段,也叫闭区间[0,1],而不等式0<x<1表示开线段,也叫开区间(0,1)。在闭区间[0,1] 里有最大数1,有最小数0。可是在开区间(0,1)里,却没有最大的数和最小的数。


假想闭区间[0,1]里的每个点都是一个小人儿,下雨啦,他们撑起了无数的小伞,小伞替每个点都很好地遮了雨。有一条定理说:这时没有必要用无穷多把伞,从这些伞里一定可以挑出有限把,其他的都收起来,照样遮雨。这是微积分学里一条有名的定理,叫“有限覆盖定理”。


有趣的是,对开区间(0,1),却没有“有限覆盖定理”。

比如,下面这无穷多的一串伞(图2-1):


(1/3,1),(1/4,1/2),(1/5,1/3),(1/6,1/4), ……(1/n,1/(n-2)), ……确实遮盖了(0,1)中的每个点。如图所示:



具体地说,(1/3,1)包含了1/2,(1/4,1/2)又包含了1/3,(1/5,1/3)包含了1/4……(1/(n+1),1/(1/(n-1))包含了1/n。

但是,决不可能从这一串“伞”里挑出有限把伞,替(0,1)中的每个点都遮好雨。事情很清楚,如果挑出来的这有限把伞里最左边的是(1/m,1/(m-2))


那么,1/m这个点便淋雨了。比1/m更小的那些数所表示的点,当然也都是“不幸”的挨雨淋的小东西。

多两点与少两点,这里面大有文章,值得反复推敲。数学家看问题,就是这样反复推敲的。

文章选载自张景中著《数学家的眼光》

选自 | 好玩的数学


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