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我选择死亡:12张图,唤起你关于高考数学的美~好~回忆!

2016-06-07 18:20 酷炫动图

一年一度高考日,中午语文结束,关于各地作文题的讨论立即热火朝天,全微博的段子手纷纷出动。然而到了下午考数学,世界就沉寂了……

你可能会说:知识都还给老师了嘛!

没关系,这里有一篇能唤起你高考美好回忆的动图合集→_→


椭圆为何是椭圆

“椭圆”是什么?小时候,我将它直观地理解成一个“压扁”或“拉长”的圆。因此,当我第一次在解析几何课本中看到椭圆的定义的时候,感觉世界观被颠覆了:

平面上到两个定点的距离之和为一定值的点的轨迹……


……这是什么鬼?


接下来,课本就从这个定义出发,推出了椭圆的方程:我们熟悉的。这个方程和圆的方程很像,非常符合“拉长的圆”的感觉。方程推出来,自然是对的,但推导的过程不太直观,结果也有点反直觉。我还是会问自己:为什么会这样呢?


直到我看到了一张类似这样的图片(当然,当年看到的不是动图):

图片来源:Zachary Abel's Math Blog

怎样得到一个“拉长的圆”?很简单,找一个圆柱体,然后斜着一刀切下去。接下来,我们从斜面的上方和下方分别塞进一个球,它们与圆柱相切,同时也与截面相切。我们把球与截面相切的两个点分别记作F1和F2——这两个点也就是椭圆的两个焦点。


于是,如图,由于F1X和AX是X这个点到蓝色球的两条切线,因此它们的长度也相等。同理,XF2=XB。因此,F1X+XF2=AX+XB=AB,而AB的长度是一个定值。就这样,我们把课本上椭圆的定义和“拉长圆”的直觉理解联系了起来。


而且,如果把这里的圆柱换成圆锥,这一点也同样成立:

图片来源:Zachary Abel's Math Blog


不过当然,圆锥的截面变化就更多了。随着角度变化,在圆锥上可以截出圆、抛物线、双曲线、两条相交的直线、两条重合的直接,甚至缩成一个点。因此,椭圆、抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线。

图片来源:mathgifs


光线与焦点

上高中时,我们没少对着椭圆做计算,而它的光学性质也很有趣:如果从椭圆的一个焦点发出光线,再经过椭圆的反射,最终光线还会汇聚到椭圆的另一个焦点上。当然,把光换成声波、小球或是别的什么东西也可以。


图片来源:MathGifs

在图中我们还可以看到:这些小球同时以同样的速度向不同的方向出发,又同时汇聚在另一个焦点。这说明它们走过的路程是一样的。为什么?想想椭圆的定义吧。


别的圆锥曲线也有独特的光学性质。比如说,从双曲线的一个焦点处发出的光线,经过双曲线的反射后,看起来会像是从双曲线的另一个焦点发出来的一样。再比如说抛物线,在它的一个焦点处发出的光线经反射后会变成平行线:

图片来源:MathGifs

把抛物线绕对称轴旋转一圈,我们就得到了抛物面。这个抛物面也有同样的光学性质,于是我们就可以用它来把平行的光线汇聚到一点,或者把从一点发出的光线变成平行光。这个性质被应用在天线、望远镜、话筒、灯光设备等各种不同的地方。奥运的圣火也是通过抛物面汇聚的太阳光来点燃的:


希腊演员Eleni Menegaki点燃2010年青年奥运会圣火。图片来源:Wiki Commons


球体切片

还记得课本上是怎样推导球的体积公式的吗?一个常见的方法是祖暅(gèng)原理,下面的动图解释的就是它:

图片来源:Hyrodium's Graphical MathLand

祖暅原理,在西方叫卡瓦列里原理(Principio di Cavalieri)。它说的是如果两个几何体在每一个相同高度处的截面积都相同,则它们的体积也相同。从上面的图中可以看出,如果把底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥,再把剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较,可以发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。这样一来,用圆柱和圆锥的体积公式就可以推出球体积公式了:


学过高等数学的同学可能会发现:这不就是说二重积分能够通过逐次积分来计算吗?的确,这可以看成是微积分的一个“前奏”。在17世纪上半叶,意大利数学家卡瓦列里提出了这条原理,并用它计算了一系列几何体的体积,而在17世纪下半叶,牛顿和莱布尼兹发明了微积分。


祖暅提出同样的原理是在公元5世纪,比卡瓦列里早了一千多年。祖暅是祖冲之的儿子,他是在求球的体积公式的过程中提出这条原理的。但他还不是第一个算出球体积公式的人。早在公元前3世纪,古希腊的阿基米德就给出了球的体积公式。他用一种奇妙的力学方法,算出半径为r的球体积是半径为r、高为2r圆柱体积的三分之二,并用穷竭法给出了证明。阿基米德的方法已经有了微积分思想的雏形,不过没有用上祖暅原理。


阿基米德的成果并没有传到中国。早期的中国数学家也研究过球的体积,但没能得到正确的结果。到了南北朝时期,祖暅终于提出了这条重要的原理:“幂势既同,则积不容异”。


祖冲之、祖暅父子在这条原理的基础上,还得到了“牟合方盖”的体积公式。咦?牟合方盖是啥?

图片来源:Wiki Commons 作者:Van helsing

如上图,把两根半径相等的圆柱垂直地拼在一起,它们的公共部分就是“牟合方盖”了。古人给几何体起的名字,在今天看来往往会有些奇怪,不过在高考考场上你还真有可能遇到它们,比如2015年湖北高考题就出现了“阳马”和“鳖臑”


余弦定理的无字证明

余弦定理是勾股定理的推广。它和勾股定理一样,都有着很多不同的证明。数学证明是一件非常美妙的事情。不过,证明长了,读起来未免有些枯燥。相比之下,简短巧妙的无字证明就显得格外具有美感。下图就是余弦定理的一个无字证明:


图片来源:Wiki Commons 作者:HB


看明白这个证明要花一点功夫,在这里我就先不剥夺读者思考的乐趣了。我没能查到这个证明的作者。它的灵感应该是来自欧几里得所给的勾股定理的证明。《几何原本》中第一卷的第47个命题便是勾股定理。只要把动图中的∠ACB改成直角,得到的就是《几何原本》上的证明:

《钦定四库全书》版《几何原本》上的插图。来源:中国哲学书电子化计划



杨辉三角

把(x+y)n这样的多项式展开,它各项的系数称为二项式系数。把所有的二项式系数排成一个三角形,得到的就是杨辉三角了。

图片来源:Wiki Commons 作者:Hersfold


杨辉三角有很多有趣的性质,图中显示的大概是其中最重要的一条:

三角形中的每个数都是其上方的两个数之和

有了这条性质,我们能轻松地画出杨辉三角:先画出左右两边的1,然后按这条性质填上中间的数字。


杨辉三角画法简单,其背后的二项式定理又是一条极为重要的定理。不难想象,它会在历史上由许多不同年代、不同国家的数学家独立发现,并被冠以许多不同的名字。美国统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒(Stephen Stigler),提出过一条“定律”:没有哪条科学发现是由它真正的发现者来命名的。这当然只是玩笑,不过杨辉三角确实给它提供了一个切实的例子:


它在西方被称为帕斯卡三角(Pascal's triangle)。在1653年,法国数学家帕斯卡在他的论文《Traité du triangle arithmétique》中提出了这个三角形。


不过,意大利人把它称为塔塔利亚三角(Triangolo di Tartaglia),因为意大利数学家塔塔利亚早在16世纪就发现了它——顺便提一句,塔塔利亚发明的一元三次方程求根公式被称为卡当公式,这是Stigler定律的另一个例子……


而在中国,它最常用的名字是杨辉三角。杨辉本人并没有发现这个三角,只是在自己的《详解九章算术》一书中引用了贾宪的工作。贾宪是北宋人,活跃在11世纪,不过他的著作没有流传下来。


在伊朗,人们又把它叫做海亚姆三角,纪念的是11世纪波斯数学家、诗人欧玛尔·海亚姆(Omar Khayyám)。海亚姆作出这个发现的年代与贾宪差不多,可能要略晚一些。


不过,无论是贾宪还是海亚姆都不是真正的第一个发现者。早在10世纪,印度数学家Halayudha就发现了这个三角形。幸好,Halayudha将其命名为Meru-prastaara,意为“须弥山的阶梯”。这个名字被印度人沿用至今,成功地避开了Stigler定律的诅咒。


有意思的是,Stephen Stigler 本人也不是第一个提出Stigler定律的人(说明这个定律非常科学……)。


最后,再送上另一张动图:

图片来源:Wiki Commons 作者:Juanmacuevas

这个像素风动画其实也是杨辉三角,只不过把三角形里的每个数写成了二进制。确切地说,动图的每一帧代表杨辉三角的一行,每一列代表一个数,黄色代表1,黑色代表0,最下面是个位,越往上代表越高的位数。



一个AI
^_^ 是不是觉得自己再也考不上大学了?



⬇️这货养了两只猫,一只叫sin另一只叫cos。有什么关于数学的问题尽管问他,比如为什么会有喜欢这种学科的奇葩……

长安扫码,偷听木遥

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